On the expanding universe. (Q5892861)

Die Metrik des raumzeitlichen Kontinuums kann für den Fall eines isotropen, homogenen, jedoch nicht statischen Universums in die Form \[ ds^2 = -R^2 d\sigma ^2 + c^2 dt^2, \quad d\sigma ^2 = g_{ij} d\xi ^i d\xi ^j \] gebracht werden \((R=R(t), d\sigma ^2\) ternäre räumliche Metrik). Mit kOmponenten dieser Art lassen sich die (quaternären) Gravitationsgleichungen \[ G_{\mu \nu } - \frac {1}{2} g_{\mu \nu } G+\lambda g_{\mu \nu } + \varkappa T_{\mu \nu } = 0 \] erfüllen, wenn man nur den Mateieenergietensor \(T_{\mu \nu }\) in der Form: \[ T_{ij}=-g_{ij} p = R^2 \lambda _{ij} p, \quad T_{i4} = T_{4i} = 0, \quad T_{44} = \varrho = \varrho _0 + 3p \] voraussetzt (\(\varrho _0\) Eigendichte, \(\varrho \) relative Dichte, \(p\) Druck). Nach einer ausführlichen Besprechung der \textit{Friedmann-Lemaitre-Eddington-Heckmann}schen Interpretierungen der Größe \(\lambda \) benutzt Verf. für \(d\sigma ^2\) die Form \[ d\sigma ^2 = d\varrho ^2 + \varrho ^2 s^2 (\varrho \sqrt {k} ) (d \psi ^2 + \sin ^2 \psi d \Theta ^2), \quad \left ( k=+1, 0, -1; s(x) = \frac {\sin x}{x} \right ) \] und erhält für \(R(t)\) das System: \[ 2\frac {\ddot {R}}{R} + \frac {\dot {R}^2}{R^2} + \frac {k}{R^2} = \lambda - \varkappa \varrho, \quad \frac {\dot {R}^2}{R^2} + \frac {k}{R^2} = \frac {1}{3} (\lambda + \varkappa \varrho ) \] oder damit äquivalent das System: \[ \lambda + \varrho \varkappa = 3 (\varepsilon + h^2), \quad \varkappa (\varrho + p) = 2 (\varepsilon - h), \] unter \(\varepsilon = \frac {k}{R^2}\) die Momentankrümmung des dreidimensionalen Raumes, unter \(h\) den Expansionskoeffizienten \(\frac {\dot {R}}{R'}\), unter \(\varkappa \) die Gravitationskonstante verstanden. Der weitere Inhalt dieser Arbeit besteht nun in einer ausführlichen physikalischen und astronomischen Diskussion aller Lösungsmöglichkeiten oszillierender und expandierender Art dieser Differentialgleichungen unter der vereinfachenden (für die Resultate jedoch belanglosen) Annahme \(p=0, \varrho = \varrho _0\) und Benutzung der Energiegleichung: \[ \dot {\varrho } + 3 \frac {\dot {R}}{R} \varrho = 0, \] sowie graphischer und tabellarischer Darstellungen (vgl. insbesondere dazu: \textit{O. Heckmann}, 1931; JFM 57.1187.*).