Sur quelques points de la théorie des fonctions. (Q5892881)

Eine Funktion \(f(x)\) (``fonction de \textit{Minkowski''}) wird für \(0\leqq x\leqq 1\) folgendermaßen definiert: \(f(0)=0, f(1)=1\) und weiter \[ f\left ( \frac {p+r}{q+s}\right ) =\frac 12 f\left ( \frac {p}{q}\right ) +\frac 12 f\left ( \frac {r}{s}\right ), \] wenn \(\frac {p}{q}, \frac {r}{s}\) zwei aufeinander folgende \textit{Farey}- Brüche sind; schließlich wird \(f(x)\) für die irrationalen \(x\) als Limes von \(f(R)\) für die rationalen \(R\to x\) definiert. Hat \(x\) die reguläre Kettenbruchentwicklung \[ x = \frac {1}{ a_1 +\frac {1}{ a_2 +\cdots }} \qquad (a_n\;\text{ganz und}\;>0), \] so ist \[ f(x)=\frac {1}{2^{a_1 -1}} -\frac {1}{2^{a_1 +a_2 -1}} +\frac {1}{2^{a_1 +a_2 +a_3 -1}} - + \cdots. \] Diese Funktion ist für \(0\leqq x\leqq 1\) eigentlich monoton, stetig, hat fast überall die Ableitung 0, nirgends eine endliche ableitung \(\neq 0\) und bildet das Intervall \(<0, 1>\) auf sich selbst und die Menge der Punkte, in denen die Ableitung 0 ist, auf die Menge der Punkte ab, in denen die inverse Funktion die Ableitung \(\infty \) hat, sie bildet also eine Menge vom Maß\ 1 auf eine Menge vom Maß\ 0 ab. Am Schluß\ eine Berichtigung zu \textit{Denjoy}, C. R. 193 (1931), 828-830 (F. d. M. \(57_{\text{I}}\), 363).