A remark on conjugate series. (Q5892893)

\(s_n\) bezeichne den \(n\)-ten Abschnitt der \textit{Fourier}reihe von \(f,\overline s_n\) den der konjugierten Reihe. Es wird bewiesen: Ist \(f\) \(L\)-integrierbar und die konjugierte Reihe selbst eine \textit{Fourier}reihe, so zeigen, wenn \(\overline f\) die konjugierte Funktion bezeichnet, die beiden Integrale \[ \int \limits _{0}^{2\pi }| f-s_n| dx, \quad \int \limits _{0}^{2\pi }| \overline f-\overline s_n| dx \] in bezung auf 0-Konvergenz, Beschränktheit oder Unbeschränktheit für \(n\to \infty \) gleiches Verhalten. Wenn insbesondere auch \(f\overset {+} {\log }| f| \) \(L\)-integrierbar ist, so sind die Voraussetzungen erfüllt, und es streben beide Integrale mit \(n \to \infty \) gegen 0. (Vgl. \textit{Zygmund}, 1929; \textit{Littlewood}, 1929; F. d. M. \(55_{\text{II}}\), 751, 752. \textit{Tamarkin}, 1932, vorstehendes Referat. )