Interpolation and functions analytic interior to the unit circle. (Q5892912)

Die vorliegende Abhandlung beschäftigt sich mit dem folgenden Interpolationsproblem: Gegeben sei eine Folge von Punkten \(\beta _1, \beta _2, \dots \) aus dem Innern des Einheitskreises und eine Folge ihnen zugeordneter Werte \(\gamma _1, \gamma _2, \dots \). Gibt es eine in \(|z| <1\) analytische Funktion \(f(z)\), die in den Punkten \(\beta _n\) die gegebenen Werte \(\gamma _n\) annimmt? Ist diese Funktion gegebenenfalls eindeutig bestimmt, und wie läßt sie sich darstellen? (Die Glieder der Folge \(\{ \beta _n\}\) werden weiterhin \(\neq 0\) vorausgesetzt; der Fall, daß verschwindende Glieder auftreten, bedingt gewisse Modifikationen, auf die hier nicht eingegangen werden soll. Dagegen brauchen die \(\beta _n\) nicht durchweg voneinander verschieden zu sein, fallen \(k\) Punkte \(\beta _n\) zusammen, so ist die Forderung so zu verstehen, daß an dieser Stelle außer dem Wert der gewünschten Funktion \(f(z)\) die Werte ihrer \(k-1\) ersten Ableitungen vorgeschrieben sein sollen.) Verf. behandelt dieses Problem unter Beschränkung auf diejenigen in \(|z|<1\) analytischen Funktionen \(f(z)\), welche daselbst eine Darstellung der Form \[ f(z) = \frac {1}{2 \pi i} \int _{|t| =1} \frac {f_1 (t)}{t-z} dt \leqno (1) \] mit einer längs \(|t| = 1\) integrablen Funktion \(f_1 (t)\) zulassen. Die Klasse dieser Funktionen \(f(z)\) wird weiterhin als Klasse \(E\) bezeichnet; für jedes \(p>1\) wird ferner die Unterklasse derjenigen Funktionen \(f(z)\) aus \(E\), die eine Darstellung (1) mit einer samt ihrer \(p\)-ten Potenz längs \(|t|=1\) integrablen Funktion \(f_1 (t)\) zulassen, als Klasse \(E_p\) bezeichnet. Für die gegebene Folge \(\{ \beta _n\}\) und die zugeordneten Werte \(\{ \gamma _n\}\) wird zunächst formal die Interpolationsreihe angesetzt: \[ \frac {a_0}{1 - \overline {\beta }_1 z} + a_1 \frac {z - \beta _1}{(1 - \overline {\beta }_1 z) (1 - \overline {\beta }_2z)} + a_2 \frac {(z - \beta _1) (z - \beta _2)}{(1 - \overline {\beta }_1 z) (1 - \overline {\beta }_2z) (1 - \overline {\beta }_3z)} + \dots \,. \leqno (2) \] deren Koeffizienten \(a_n\) sich in eindeutiger Weise aus den gegebenen Daten berechnen. An diese Reihe schließen sich die weiteren Betrachteungen an: Zunächst wird gezeigt, daß, falls es eine Funktion \(f(z)\) der Klasse \(E\) gibt, deren Werte an den Stellen \(\beta _n\) mit den Werten \(\gamma _n\) übereinstimmen, die mit den Werten \(\gamma _n\) gebildete Interpolationsreihe (2) noch auf eine zweite Art erzeugt werden kann. Liefert nämlich dann die längs \(|z| =1\) integrable Funktion \(f_1(z)\) die Darstellung von \(f(z)\) gemäß (1), so stimmt die für die Werte \(\gamma _n = f (\beta _n)\) gebildete Interpolationsreihe (2) überein mit der formalen \textit{Fourier}-Entwicklung der Funktion \(f_1 (z)\) nach dem auf \(|z| =1\) orthogonalen Funktionensystem \[ \frac {1}{1 - \overline {\beta }_1 z}, \frac {z - \beta _1}{(1 - \overline {\beta }_1 z) (1 - \overline {\beta }_2 z) }, \dots. \] Damit ergeben sich die beiden Sätze: (1) Ist \(f(z)\) eine Funktion der Klasse \(E\) und ist \(\prod |\beta _n|\) divergent, so konvergiert die mit den Werten \(\gamma _n = f(\beta _n)\) gebildete Reihe (2) in \(|z| <1\) (gleichmäßig in \(|z| \leq r < 1\)) gegen \(f(z)\). (Vgl. \textit{Malmquist}, 1926; F. d. M. 52, 312 (JFM 52.0312.*).) (2) Ist \(f(z)\) eine Funktion der Klasse \(E\) und ist \(\prod |\beta _n\) konvergent, so konvergiert die mit den Werten \(\gamma _n = f(\beta _n)\) gebildete Reihe (2) in \(|z| <1\) (gleichmäßig in \(|z| \leq r < 1\)) gegen die Funktion \[ F(z) = f(z) - \frac {B(z)}{2 \pi i} \int _{|t|=1} \frac {f_1(t)}{(t-z) B(t)} dt \,. \] wo \(B(z)\) das an den Stellen \(\beta _n\) verschwindende \textit{Blaschke}sche Produkt \[ B(z) = \prod _n \frac {z- \beta _n}{\overline {\beta }_n z -1} \overline {\beta }_n \leqno (3) \] bedeutet. (Die Funktion \(F(z)\) stimmt also an den Stellen \(\beta _n\) mit \(f(z)\) überein.) Im Hinblick auf das in Rede stehende Interpolationsproblem entnimmt man diesen Sätzen: Einerlei ob \(\prod |\beta _n|\) divergiert oder konvergiert, wenn es eine Funktion der Klasse \(E\) gibt, die in den Punkten \(\beta _n\) die gegebenen Werte \(\gamma _n\) annimmt, so konvergiert die Entwickung (2) in \(|z|<1\) (gelichmäßig in \(|z|\leq r <1\)) gegen eine Funktion dieser Art. Weiterhin gelingt es dem Verf. unter Beschränkung auf die Funktionen der Klasse \(E_2\), zu einer vollständigen Lösung des Interpolationsproblems zu gelangen. Er beweist den folgenden Satz, der das Hauptresultat der Arbeit darstellt: Notwendig und hinreichend dafür, daß es eine Funktion \(f(z)\) der Klasse \(E_2\) gibt, die an den Stellen \(\{ \beta _n \}\) die Werte \(\{ \gamma _n\}\) annimmt, ist die Konvergenz der Reihe \[ \sum _n \frac {|a_{n-1}|^2}{1 - |\beta _n|} \,. \] wo die Größen \(a_n\) die Koeffizienten der für die Stellen \(\{ \beta _n\}\) und die Werte \(\{ \gamma _n\}\) gebildeten Interpolationsreihe (2) bedeuten. Ist diese Bedingung erfüllt, so stellt die fragliche Reihe (2) in \(|z|<1\) eine Funktion \(F(z)\) der verlangten Art dar, und die allgemeinste Lösung des Interpolationsproblems hat die Form \[ f(z) = F(z) + B(z) \Phi (z) \,. \] wo \(\Phi (z)\) eine beliebige Funktion der Klasse \(E_2\) und \(B(z) \equiv 0\) oder gleich dem \textit{Blaschke}schen Produkt (3) ist, je nachdem \(\prod |\beta _n|\) divergiert oder konvergiert. Es wird noch gezeigt, daß ein Teil der Resultate, die sich auf dem Weg zu diesem Satz ergeben, bereits für Funktionen der Klasse \(E\) oder der Klassen \(E_p\) mit \(p>1\) gelten. Weiter folgen Bemerkungen über den Bereich und die Art der Konvergenz der Reihe (2), sowie über Erweiterungen der Theorie insbesondere auf nicht kreisförmige Bereiche und auf meromorphe Funktionen. Endlich wird gezeigt, daß im Falle \(\beta _n =0\) \((n=1,2, \dots )\) die Theorie in die der Potenzreihen übergeht und dann zu bekannten Resultaten führt.