Über die reellen Nullstellen Dirichletscher \(L\)-Reihen. (Q5892916)

Die \textit{Reimann}sche Vermutung, wonach alle nicht-trivialen Nullstellen der \(\zeta \)-Funktion auf der Geraden \(\mathfrak R (s) = \frac {1}{2}\) liegen, ist auch auf die \textit{Dirichlet}schen \(L\)-Reihen ausgedehnt worden. Die Vorliegende Arbeit befaßt sich mit einer verwandten Frage, nämlich mit den reellen Nullstallen der \(L\)-Funktionen. Es wird eine Methode ausgearbeitet, welche in vielen Fällen mittels numerischer Rechnung zu beweisen gestattet, daß die \textit{Dirichlet}sche \(L\)-Reihe \[ L(s; \chi ) = \sum _1^{\infty } \frac {\chi (n)}{n^s} = \frac {1}{\Gamma (s)} \int _0^1 \left ( \log \frac {1}{x} \right )^{s-1} \frac {F(x)dx}{1-x^kx} \quad \left ( \text{mit} \; F(x) = \sum _1^k \chi (n) x^n \right ) \] überhaupt keine reellen Nullstellen besitzt. Wird z. B. als Modul \(k\) eine ungerade Primzahl \(p\) gewählt, als Charakter \(\chi \) das \textit{Legendre}sche Symbol, so ist der Nachweis, daß die Reihe \(\sum \limits _1^{\infty } \left ( \frac {n}{p} \right ) n^{-s}\) keine positiven Nullstellen hat, für fast alle \(p > 300\) gelungen. Mit Hilfe des Gedankenkreises des \textit{Budan-Fourier}schen Satzes werden zunächst die Nullstellen des zur \(L\)-Reihe zugehörigen Polynoms \(F(x)\) im Intervall \(0<x<1\) untersucht. Sind in diesem Intervalle keine Nullstellen von \(F(x)\) vorhanden, so ist das Problem (nach obiger Integraldarstellung) für die reellen Nullstellen der entsprechenden \(L\)-Reihe erledigt; die Methode kann aber auch dann zum Ziel führen, wenn \(F(x)\) zwischen 0 und 1 Nullstellen besitzt.