Bemerkungen zu der Arbeit ``Über eine Minimalaufgabe im Gebiet der analytischen Funktionen'' von W. Wirtinger. (Q5892918)

\textit{Wirtinger} stellt sich die Aufgabe, zu einer in einem Bereich \(\mathfrak B\) der komplexen Veränderlichen \(z\) gegebenen komplexen einmal stetig differenzierbaren Funktion \(\Phi \) eine analytische Funktion \(f\) so zu bestimmen, daß das Flächenintegral über das Absolutquadrat der Abweichung \(\Phi - f\) ein Minimum wird. Mittels der \textit{Cauchy-Riemann}schen Differentialgleichungen und der \textit{Green}schen Identität findet er \(f\) in der Gestalt: \[ f = \frac {1}{\pi i} \int \frac {\partial ^2 G}{\partial z \partial \overline {\zeta }} (\zeta. \overline {\zeta }) d \zeta \overline {d \zeta } \,.\leqno (*) \] wo \(G(z, \overline {z}; \zeta \overline {\zeta })\) die zu \(\mathfrak B\) gehörige \textit{Green}sche Funktion mit dem Aufpunkt \(\zeta \) bedeutet. Schließlich wird die Aufgabe in dem Spezialfall des Einheitskreises nochmals auf andre Weise gelöst. \textit{Hornich} untersucht näher die Bedingungen für die Lösbarkeit der Aufgabe. Bezeichnet man mit \(H\) diejenigen Funktionen, die durch die Transformation (*) identisch in 0 übergeführt werden, so ist für die Lösbarkeit notwendig und hinreichend (\(\Phi \) als stetig vorausgesetzt), daß sich \(\Phi \) inder Form \(\Phi = H+F\) darstellen läßt, wo \(F\) eine analytische Funktion ist, die dann zugleich die Lösung der Aufgabe ist. Ist \(G\) einfach zusammenhängend und \(\Phi \) im abgeschlossenen Bereich stetig, so ist diese Bedingung immer erfüllt.