Conformal representation. (Q5892928)

Es versteht sich von selbst, daß in dem beschränkten Rahmen dieses Bändchens, das aus Vorlesungen des Verf. hervorgegangen ist, keine einigermaßen vollständige Darstellung der konformen Abbildung gegeben werden konnte. Doch wird der Leser wiederholt an die neueste Forschung herangeführt, und die entwickelten Hilfsmittel reichen, wie in einem Anhang angedeutet wird, vielfach zum Beweis allgemeinerer Theoreme aus. Die Darmstellung weist, auch in den elementareren Teilen, viele interessante Eigentümlichkeiten auf. Besonders hervorzuheben ist die Behandlung des Problems der Ränderzuordnung. Vorausgesetzt wird nur die Vertrautheit mit den allgemeinsten Sätzen der Funktionentheorie. Inhalt: Nach einer historischen Einleitung behandeln die Kap. I die \textit{Möbius}-transformationen, II die \textit{Lobatschewski}sche Geometrie im Einheitskreise, III elementare Abbildungen. Kap. IV ist dem \textit{Schwarz}schen Lemma gewidmet: Dem elementaren Lemma und einigen Anwendungen folgen seine invariante Formulierung mittels des Begriffes der kreisgeometrischen Distanz, dann einige spezielle Fälle des \textit{Lindelöf}schen Prinzips (Funktionen mit positivem, mit beschränktem Realteil, beschränkte Funktionen, die einen weiteren Wert auslassen); hier findet sich auch ein sonst nicht veröffentlichter Beweis von \textit{Erhard Schmidt} für den \textit{Koebe}schen \(\frac {1}{4}\)-Satz, der auf demselben Prinzip beruht, das der in F. d. M. \(58_{\text{I}}\), 361 besprochenen Arbeit des Ref. zugrunde liegt; ferner findet sich ein zu einem \textit{Rogosinki}schen verwandter Satz (\textit{Rogosinski}, 1934; F. d. M. \(60_{\text{I}}\), 254), von dem später in der Theorie der Ränderzuordnung Gebrauch gemacht wird; endlich das \textit{Julia}sche Lemma in der erstmals von \textit{Wolf} (1926; F. d. M. 52, 309 (JFM 52.0309.*)-310) gegebenen Verschärfung, wobei sich Verf. an eine eigene frühere Darstellung hält (1929; F. d. M. \(55_{\text{I}}\), 209). Kap. V handelt vom \textit{Riemann}schen Abbildungssatz und Verwandten. Vorausgeschickt wird eine Darstellung der Theorie der normalen Familien nach dem Muster einer früheren Arbeit des Verf. (1929; F. d. M. \(55_{\text{I}}\), 198); der Hauptsatz der konformen Abbildung wird ohne Beschränkung auf einfachen Zusammenhang im Anschluß an \textit{Fejér} und \textit{F.Riesz} bewiesen; es schließen sich an die Abbildung des zweifach zusammenhängenden Bereiches auf den Kreising und Abbildungen von Bereichfolgen (Kernsätze). Kap.VI ist der Frage der Ränderzuordnung gewidmet. Es wird die umkehrbar eindeutige und stetige Zuordnung der Punkte zweier abgeschlossener \textit{Jordan}bereiche aufeinander bei konfomer Abbildung der Innengebiete bewiesen; es folgt das Spiegelungsprinzip für analytische Kurven, die Winkelproportionalität bei Abbildung einer Ecke mit Tangenten, die Konformität in einem Randpunkt im Anschluß an die erste der oben zitierten Arbeiten des Verf. In Kap.VII endlich wird gezeigt, daß eine im dreidimensionalen Raume liegende, im kleinen konform auf die Ebene abbildbare geschlossene Fläche vom Geschlecht 0 im großen umkehrbar eindeutig und konform auf die Kugel abgebildet werden kann. - Literaturverzeichnis nebst Anmerkungen. Beschprechung: G. Bouligand, Revue scientifique 71 (1933), 640