On Stieltjes continued fractions. (Q5892935)

Es sei die Kettenbruchentwicklung \[ \int _a^b \frac {d\psi (y)}{x-y}dy=\frac {b_1|}{|x} -\frac {b_2|}{|1} -\frac {b_3|}{|x} -\frac {b_4|}{|1} - \dots \] vorgelegt; \(B_n(x)\) bedeute den \(n\)-ten Näherungsnenner. Die \(B_{2m}(x)\) mit geradem Index sind im wesentlichen die zu \(d\psi \) gehörenden Orthogonalpolynome \(\varphi _m (x;d\psi )\), von den \(B_{2m+1}\) war nur bekannt, daß sie sich durch die \(\varphi _m(x;d\psi )\) in einfacher Weise ausdrücken lassen: \(B_{2m+1}(x)=\text{const } \cdot (A_1\varphi _m(x;d\psi )-A_2 \varphi _{m+1}(x;d\psi ))\). Verf. zeigt nun, daß \(B_{2m+1}=(b_{2n+2})^{\frac 12} x\varphi _m(0;d\psi )\varphi _m (x;xd\psi )\); d.h. die \(B_{2m+1}(x)\) bilden ein Orthogonalsystem mit der Belegungsfunktion \(xd\psi \). Zum Beweis wird die auf \textit{Darboux} (1878; F. d. M. 10, 279 (JFM 10.0279.*)) zurückgehende Formel \[ \sum _{i=0}^n\varphi _i(x) \,\varphi _i(t) = \frac {a_n}{a_{n+1}} \frac {\varphi _n(x)\varphi _{n+1}(t)-\varphi _n(t)\varphi _{n+1}(x)}{t-x} \] abgeleitet. (Es ist \(\varphi _n(x)=a_nx^n +\dots \).) Aus dem Ergebnis folgt, daß in der Quadraturformel \[ \int _a^b f(x)d\psi (x)=\sum _{i=0}^n\int _a^b\frac {\varphi (x)d\psi (x)}{(x-x_i)\varphi '(x_i)} \cdot f(x_i)+R_n(f), \] bei der \(f(x)\) ein Polynom des Grades \(r\leq 2n\) bedeutet und \(\varphi (x)=\prod (x-x_i)\) ist, dann und nur dann \(R_n(f)\) identisch verschwindet, wenn die \(x_i\) mit den Nullstellen der \(\varphi _n(x;xd\psi )\) zusammenfallen. (IV 11.)