Zur Theorie der Modulfunktionen. (Q5892942)

Verf. setzt in der für \(|x| <1\) eindeutigen Funktion \(g(x) =\)\linebreak \(-\sum _{m=1}^{\infty } \log (1-x^m),\; g(0) =0\): \[ x=\exp \left ( 2\pi i\frac {iz+h}{k} \right ) (\mathfrak {R} (z)>0,\; h,k \text{ ganz rational,} \; k>0, (h,k)=1) \] und kann mittels der \textit{Mellin}schen Formel zwischen \(g(e^{2\pi i\tau })\) und \(g(e^{2\pi i\tau '})\), wo \[ \tau =\frac {iz+h}{k}, \; \tau ' =\frac {iz^{-1}+h'}{k}, \quad hh' \equiv -1 (\text{mod } k), \] die Formel beweisen: \[ g(e^{2\pi i\tau })= g(e^{2\pi i\tau '}) +R, \] wo \(R\) genau angebbar ist. Nun besteht aber zwischen \(\tau \) und \(\tau '\) eine unimodulare Substitution der Modulgruppe. Anderseits ist für die bekannte \textit{Dedekind}sche Funktion \(\eta (\tau )\) \[ \log \eta (\tau ) =\frac {i\pi \tau }{12} -g(e^{2\pi i\tau }). \] Somit folgt ohne weiters auch die Transformation von \(\log \eta (\tau )\) für eine Substitution der Modulgruppe. In \(R\) tritt eine merkwürdige zahlentheoretische Größe \(s(h,k)\) auf, für die nach \textit{Dedekind} eine Funktionalgleichung gilt, die Verf. rein zahlentheoretisch beweist. Indem er zwei beliebige Substitutionen der Modulgruppe nacheinander anwendet, kommt er auch für diese zu einer Kompositionsregel. Zum Schlusse macht Verf. die Anwendung auf die Funktionen: \(\frac {\eta (n\tau )}{\eta (\tau )}, \; n>0\), ganz, rational