Untersuchungen zur Topologie der geschlossenen zweiseitigen Flächen. III (Q5893008)

Fortsetzung der gleichnamigen Abhandlungen I und II (1927, 1929; F. d. M. 53, 545 (JFM 53.0545.*)-546; \(55_{\text{II}}\), 971-972). In II ist auf die Wichtigkeit der Frage hingewiesen worden: Gibt es Automorphismen, für welche alle Potenzen fixpunktfreie Abbildungen des Randkreises bewirken, m. a. W: Gibt es Fixpunktklassen, die bei beliebiger Iterierung der Abbildung positiven Index (also den Index + 1) haben? Diese Frage wird jetzt verneint, und es wird sogar die Existenz einer solchen, nur vom Geschlecht der Fläche abhängigen, Schranke \(n\) nachgewiesen, daß\ der Index spätestens bei der \(n\)-ten Iterierung \(\leq 0\) wird. Die Aufmerksamkeit wird dann in natürlicher Weise auf die Abbildungsklassen endlicher Ordnung gelenkt, also auf diejenigen, von denen eine Potenz die Klasse der Identität ist. Die Frage, ob jede solche Klasse auch eine Abbildung endlicher Ordnung enthält, bleibt zwar unentschieden, jedoch wird durch eine Reihe von Beispielen die Vermutung nahegelegt, daß\ dem so sei. Hat man eine Abbildung endlicher Ordnung (periodische Abbildung), so kann man sie - nach einem Satz von \textit{Brouwer} - zu den Blättervertauschungen einer \textit{Riemann}schen Fläche in Beziehung setzen, und die bekannte \textit{Hurwitz}sche Anzahlrelation wird anwendbar; aber auch unabhängig von der Antwort auf die obige Frage wird gezeigt, wie man aus der \textit{Alexander}schen Fixpunktformel die \textit{Hurwitz}sche Formel als Relation zwischen gewissen gruppentheoretisch definierten Anzahlen erhalten kann. Die Haupthilfsmittel für die Untersuchung der Klassen endlicher Ordnung sind zwei algebraische Begriffe: Erstens die Gruppe \(T\) aller Transformationen \(f_nt^m\), wobei \(f_n\) die Gruppe \(F\) der Decktransformationen, \(m\) alle ganzen Zahlen durchläuft und \(t\) dieselbe Bedeutung hat wie in II; sie läßt sich als Abbildungsgruppe des Randkreises auffassen; sie enthält \(F\) als Normalteiler; die Faktorgruppe \(T/F\) ist zyklisch, und die Klassen endlicher Ordnung sind durch die Endlichkeit von \(T/F\) charakterisiert. Das zweite algebraische Hilfsmittel ist das charakteristische Polynom der linearen Substitution \(\Gamma \), welche die Abbildung in den Exponentensummen eines kanonischen Erzeugendensystems, also in einer Homologiebasis, bewirkt.