Dimensionstheorie. Ein Beitrag zur Geometrie der abgeschlossenen Mengen (Q5893018)

Dieser Arbeit, die für die Entwicklung der Topologie von großer Bedeutung geworden ist, schickt Verf. ein allgemeines Programm voraus: Die gestaltlichen Eigenschaften allgemeiner topologischer Gebilde sollen elementar erfaßt werden, elementar, d. h. mit den Methoden, dir für die Polyedertopologie maßgeblich sind, den kombinatorischen, die ihren wichtigsten Ausdruck im Berandungs- und im Schnittbegriff finden. Dieser Einstellung, die sich in vielen Brouwerschen Arbeiten findet (man vgl. seine Untersuchungen über Kurven mit den Urysohn-Mengerschen), die weiter Vietoris zu seiner Definition der Bettischen Gruppe kompakter Räume geführt hat, die schließlich Verf. selbst zu seinen Spektraluntersuchungen (siehe hauptsächlich [Ann. Math. (2) 30, 101--187 (1928; JFM 54.0609.02)]) brachte und insbesondere den dimensionstheoretischen Überführungssatz (a. a. O.) lieferte -- dieser Einstellung entsprang die vorliegende gründliche und tiefgehende Analyse des Dimensionsbegriffs (und entsprangen fast alle folgenden Untersuchungen des Verf.) Das überraschendste Ergebnis ist die Gleichheit von Brouwerscher Dimension [\textit{L. E. Brouwer}, J. Reine Angew. Math. 142, 146--152 (1913; JFM 44.0555.01)] und Alexandroffscher \glqq geometrischer\grqq{} Dimension (provisorisch definiert a. a. O., 183). Die geometrische Dimension \(\Delta (F)\) eines kompakten Raumes \(F\) (andere werden hier nicht untersucht) ist definiert als die größte ganze Zahl \(r\), für die es einen \((r-1)\)-dimensionalen wesentlichen berandenden wahren Zyklus in \(\Gamma \) gibt. Ein wahrer Zyklus in \(F\) ist dabei eine Folge von algebraischen \(\delta \)-Zyklen (beliebigen, d. h. variablen Moduls) in \(F\) mit nach null konvergentem \(\delta >0\); der wahre Zyklus berandet, wenn jeder der definierenden \(\delta \)-Zykeln \(\varepsilon \)-berandet und \(\varepsilon \to 0\) mit \(\delta \to 0\); die abgeschlossene Hülle der Eckenmenge der definierenden algebraischen Zyklen heißt Träger des wahren Zyklus; wesentlich heißt ein wahrer Zyklus, der nicht schon in seinem Träger berandet. Analog wird die \glqq geometrischer\grqq{} Dimension mod \(m\) definiert, indem für den algebraischen Zyklus- und Randbegriff nur der Koeffizientenbereich der ganzen Zahlen mod \(m\) zugelassen wird; Bezeichnung \(\Delta^m(F)\). Natürlich gilt \(\Delta (F)\geq \Delta^m(F)\). Die eingeführten Dimensionen sind topologische Invarianten; sie genügen auch dem \glqq Brouwerschen Invarianzprinzip\grqq{}: bei \(\varepsilon \)-Überführungen (Verf. a. a. O., 103) mit genügend kleinem \(\varepsilon >0\) nehmen sie nicht ab. Die Gleichheit von \(\Delta (F)\) und \(\dim F\) (Brouwersche Dimension) fließt aus den beiden folgenden Quellen: 1) auf Grund des Alexandroffschen Überführungssatzes zeigt sich, daß \(\dim F\) die größte Zahl \(r\) ist, für di \(F\) eine wesentliche Abbildung auf die \(r\)-dimensionale Vollkugel gestattet (wesentlich heißt eine solche stetige Abbildung, wenn sie sich unter Festhaltung auf dem Urbild des Randes nicht in eine andere stetig überführen läßt, bei der das Innere unbedeckt bleibt); 2) auf Grund des Hopfschen Abbildungssatzes [\textit{H. Hopf}, Recueil Math. Moscou 37, 53--62 (1930; JFM 56.0501.04); siehe auch 1933; F. d. M. \(56_{\text{I}}\), 559)] ist eine Abbildung eines Polyeders auf eine Vollkugel dann und nur dann unwesentlich, wenn jeder Relativzyklus (in bezug auf das Urbild des Randes mod \(m\) (beliebiges \(m\)) mit dem Grade \(0\) mod \(m\) abgebildet wird (daß die Existenz nicht berandender Relativzyklen mod \(m\) die Existenz wesentlicher Abbildungen dann nach sich zieht, ist leicht zu sehen). Konvergente Zyklen nach festem Modul \(m\) sind die Zyklen, die in der Vietorisschen Definition der Bettischen Gruppen (allerdings nur mod 2) auftreten; es wird verlangt daß\ je zwei der definierenden algebraischen Zyklen, \(z_h\) und \(z_{h+k}\), einander \(\varepsilon \)-homolog sind und \(\varepsilon \) mit wachsendem \(h\) nach 0 konvergiert. Es zeigt sich auf Grund allgemeinen Konvergenzsätze, daß\ man sich bei der Definition von \(\Delta ^m(F)\) auf konvergente Zyklen beschränken darf; bei \(\Delta (F)\) läßt sich nur erreichen, daß\ der Zyklus ein Potenzzyklus ist, d. h. daß\ die Moduln nach Potenzen einer festen Zahl, der Dominante, fortschreiten. Weiter läßt sich in der Definition von \(\Delta (F)\) und \(\Delta ^m(F)\) der wesentliche Zyklus durch einen Relativzyklus ersetzen. Soweit die inneren Eigenschaften der Dimension. Wir erwähnen nur noch, daß \textit{L. Pontrjagin} [C. R. 190, 1105--1107 (1930; JFM 56.0503.01)] auf Grund der Alexandroffschen Definition von \(\dim F\) (als \(\Delta (F)\)) Beispiele konstruierte, die die Vermutung des dimensionstheoretischen Produktsatzes widerlegten (für die \(\Delta ^m(F)\) ist der Produktsatz aber richtig, falls \(m\) eine Primzahl ist). Bzgl. der Probleme über Dimensionsfunktionen, die Verf. stellt, sei auf die Arbeit selbst verwiesen. Die weiteren Untersuchungen betreffen Lageeigenschaften kompakter abgeschlossener Teilmengen eines cartesischen \(R^n\). Allerdings ergeben sich auch hier noch wichtige innere Eigenschaften, die sich auch durch innere Betrachtungen hätten beweisen lassen. Ein wichtiger Begriff ist der der \(\varepsilon \)-Modifikation eines algebraischen Komplexes, dessen Ecken im \(R^n\) liegen: jedes Simplex \(x\) des Komplexes wird durch einen algebraischen Komplex \(y\) derselben Dimension ersetzt (und damit auch jeder aus den \(x\) gebildete Komplex durch einen aus den \(y\) gebildeten), derart daß Randbildung und Ersetzung miteinander vertauschbar sind; die nulldimensionalen Simplexe bleiben unverändert; die Vereinigungsmenge der Ecken eines \(x\) und des zugehörigen \(y\) hat einen Durchmesser \(\leq 2\varepsilon \). Für eine Teilmenge \(F\) des \(R^n\) ist \(\varepsilon \)-Modifikation der Prozeß, der besteht aus einer \(\varepsilon \)-Überführung von \(F\) in ein Polyeder (mit genügend feiner Simplexteilung) und \(\varepsilon \)-Modifikation des als Komplex aufgefaßten Polyeders. \(r\)-dimensionales Hindernis heißt \(F\subset R^n\) im Punkte \(x\), wenn es zu jeder Umgebung \(U\) von \(x\) im \(R^n\) eine Umgebung \(V\) von \(x\) im \(R^n\) und einen \((n-r-1)\)-dimensionalen (algebraischen) Zyklus in \(U-F\) gibt, der in \(V-F\) nicht berandet. (Sowohl die \(\varepsilon \)-Modifikation als auch das Hindernis sind schlechthin oder aber mod \(m=0,2,\dots \) zu verstehen.) Aus Verschlingungssätzen folgt der \glqq Allgemeine dimensionstheoretische Rechtfertigungssatz\grqq{}: \(F\) ist dann und nur dann \(r\)-dimensional, wenn es irgendwo ein \(r\)-dimensionales und nirgends ein \((r+1)\)-dimensionales Hindernis darstellt. (Insbesondere ist es \((n-1)\)-dimensional, wenn es irgendwo lokal zerlegt.) Ferner der Reziprozitätssatz: Läßt sich jeder \(s\)-dimensionale Komplex des \(R^n\) von den Punkten von \(F\) durch eine \(\varepsilon \)-Deformation (\(\varepsilon \) beliebig \(> 0\)) von \(F\) befreien, so geht das auch durch eine \(\varepsilon \)-Modifikation des Komplexes und umgekehrt. Dieser Satz ist eine Folge des Satzes: Dann und nur dann ist \(F\) \(r\)-dimensional, wenn sich \(F\) von den Punkten jedes (genügend fein geteilten) \((n-r-1)\)-dimensionalen Komplexes durch eine \(\varepsilon \)-Modifikation des Komplexes (\(\varepsilon \) beliebig \(> 0\)) befreien läßt, und wenn das bei \((n-r)\)-dimensionalen Komplexen nicht geht. Zu Geschlossenheitsfragen führt der Begriff der (mod \(m\) bzw. nach variablem Modul) zyklischen Menge, d. h. einer \(r\)-dimensionalen Menge, die einen nicht berandenden \(r\)-dimensionalen (konvergenten bzw. Potenz- )Zyklus enthält. Durch abstrakte Zusammenziehung einer nirgendsdichten Teilmenge läßt sich jede Menge in eine gleichdimensionale zyklische überführen. Auf Grund eines \textit{Hopf}schen Satzes (a. a. O.) läßt sich eine zyklische Menge durch ihre wesentliche Abbildbarkeit auf die gleichdimensionale Sphäre charakterisieren. Geschlossenhietseigenschaften im kleinen werden beim Begriff des Kernpunktes behandelt: Direkter Kernpunkt heißt ein Punkt, wenn alle genügend kleinen Umgebungen auf dem Rand einen \((r-1)\)-dimensionalen (konvergenten bzw. Potenz- ) Zyklus besitzen, der in der Umgebung, nicht aber schon auf ihrem Rand berandet (\(r\) ist dabei die Dimension der Menge). Eine Kernmenge soll eine offene Teilmenge besitzen, die nur aus Kernpunkten besteht. Eine solche \(r\)-dimensionale Kernmenge, die gleichzeitig \textit{Cantor}sche Mannigfaltigkeit ist, existiert in jeder \(r\)-dimensionalen Menge. Sehr wichtig ist auch der Zerstörungsbegriff: Eine Homologie in \(F\) wird durch die abgeschlossene Teilmenge \(A\) zerstört, wenn diese Homologie in keiner abgeschlossenen Teilmenge von \(F-A\) gilt (\(A\) soll dabei zum Träger des betreffenden Zyklus fremd sein). Verf. stellt folgenden Satz als Problem auf: In jeder \(r\)-dimensionalen Menge läßt sich jede \(k\)-dimensionale Homologie \((k<r)\) durch eine höchstens \((r-k-1)\)-dimensionale Menge zerstören, nicht aber jede \((k+1)\)-dimensionale Homologie. Für einen schärferen Zerstörungsbegriff gelingt Verf. der Beweis einer Teilaussage. Wir haben aus der Fülle der Definitionen (von denen viele auch ohne die Schlußfolgerungen ein bedeutendes Verdienst der Arbeit darstellen) und Sätze einige herausgegriffen, da eine einigermaßen vollständige Übersicht doch nicht möglich war; ob unsere Auswahl die richtige war, läßt sich zur Zeit noch kaum entscheiden.