Sur les congruences de courbes. (Q5893053)

Sind \(\overline v(x,y,z)\) und \(\overline w(x,y,z)\) zwei stetig differenzierbare Vektorfunktionen, und erzeugen die mit ihnen verknüpften Kurvenkongruenzen dieselben Flächenschar, so ist die Gesamtheit der Normalvektoren einer jeden solchen Fläche durch das Vektorprodukt \(\overline v \times \overline w\) darstellbar - anders gesprochen, die zu \(\overline v \times \overline w\) gehörige Kongruenz ist eine Normalkongruenz. Diese Bedingung ist notwendig und hinreichend und hat die Beziehung \[ (\overline v\times \overline w) (\operatorname {rot} \overline v\times \overline w)=0 \] zur Folge, welche Verf. noch weiter umformt. Nach diesem allgemeinen Ergebnis untersucht Verf. spezielle Fälle, in welchen diese Beziehung erfüllbar ist - so z. B. den Fall, wo die zu \(\overline v\) und \(\overline w\) gehörigen Kongruenzkurven konjugierte Kurven auf den erzeugten Flächen sind, oder den Fall, wo sie Krümmungslinien oder auch Asymptotenlinien sind. Weiter werden die Fragen behandelt, wann Orthogonaltrajektorien einer Flächenschar Krümmungs- oder Asymptotenlinien auf einer anderen Flächenschar sind. Es verbleibt noch die Frage nach geodätischen Kongruenzkurven relativ zur zugehörigen Flächenschar; auch sie wird von Verf. ausführlich und mit bemerkenswerter Eleganz klargestellt.