Sur l'existence de la dérivée des fonctions monotones. (Q5893093)

Verf. beweist den klassischen Satz von \textit{Lebesgue}, laut dem jede monotone Funktion fast überall differenzierbar ist, in ziemlich einfacher und eleganter Weise. Beim Beweis wird weder der Maß- oder Integralbegriff, noch irgendein Überdeckungssatz verwendet. Als Haupthilfsmittel dient ein Hilfssatz, der für in einem Intevall \(a\leq x\leq b\) stetige Funktionen \(g(x)\) wie folgt lautet: Die Gesamtheit derjenigen Stellen \(x\) des Intervalles \((a,b)\) für welche es (im selben Intervall) ein \(x^{\prime }>x\) mit \(g(x^{\prime })>g(x)\) gibt, ist die Vereinigungsmenge von höchstens abzählbar unendlich vielen offenen Intervallen \((a_k, b_k)\), für welche \(g(a_k)\leq g(b_k)\) ausfällt. Im allgemeinen Falle wird nur die Existenz der beiderseitigen Grenzwerte \(g(x-0)\) und \(g(x+0)\) un die Halbstetigkeit nach oben von \(g(x)\) (d. h. \(g(x)\geq g(x\pm 0)\)) vorausgesetzt; die Behauptung des Hilfssatzes lautet wie oben, nur mit \(g(a_k + 0)\) statt \(g(a_k)\). Mit Hilfe dieses Hilfssatzes wird ein bestimmtes Verfahren angegeben, wodurch man für eine beliebige monotone Funktion \(f(x)\) und für \(0<c<C\) zur Menge derjenigen Stellen \(x\), wo die linksseitige untere Derivierte von \(f(x)\) kleiner als \(c\) und zugleich ihre rechtsseitige obere Derivierte größer als \(C\) ausfällt, eine Folge von Intervallsystemen (aus je höchstens abzählbar unendlich vielen Intervallen) ermitteln kann, deren jedes die fragliche Menge enthält und deren Gesamtlänge gegen null konvergiert. Hieraus und aus der (mittels desselben Hilfssatzes bewiesenen) Tatsache, daß die rechtsseitige obere Derivierte von \(f(x)\) fast überall endlich ist, folgt der \textit{Lebesgue}sche Satz durch eine bekannte Überlegung. - Derslebe Beweis ist auch in dem vorstehend besprochenen Vortrag des Verf. vor dem Internationalen Math.-Kongreß Zürich, enthalten.