On the expansion of an integral of Stieltjes. (Q5893105)

Es handelt sich um eine kombinatorische Deutung für die Koeffizienten der Polynome \[ \begin{gathered} c_k(\lambda ) = (-1)^kX^{-k-1}\frac {\partial ^k X}{\partial u^k}\Big | _{u=0} = \sum _{p=0}^{k-1} a_{kp}\lambda ^p, \tag{1}\\ X = (1-\lambda )/(e^{(1-\lambda )u}-\lambda ). \end{gathered} \] Diese treten nach \textit{Stieltjes} in der asymptotischen Entwicklung auf: \[ F(z,\lambda ) = \int \limits _0^\infty \frac {(1-\lambda )e^{-zu}}{e^{(1-\lambda )u}-\lambda }du\sim \sum _{k=0}^\infty \frac {(-1)^k c_k(\lambda )}{z^{k+1}}\quad \text{für}\quad \mathfrak R(z)\to +\infty \] (falls \(\lambda =1\), ist der Integrand durch seinen Grenzwert zu ersetzen). Es wird nun gezeigt, daß die natürliche Zahl \(a_{np}\) die Anzahl derjenigen Anordnungen \(i_1, i_2,\dots,i_n\) der \(n\) Ziffern \(1,2,\dots,n\) ist, für die gerade \(p\) Fehlstände benachbarter Ziffern (d.h. \(i_{\nu -1}>i_\nu )\) vorhanden sind. Das ist für kleine \(n\) leicht nachzuprüfen und folgt allgemein daraus, daß sich für die genannte Anzahl auf kombinatorischem Wege das gleiche Rekursionsgesetz ergibt, wie es für die Koeffizienten in (1) gilt. Die Menge \(K_{np}\) aller Umordnungen \(\binom {\nu }{i_\nu }\) mit der geschilderten Eigenschaft ist invariant bei Transformation mit \(T=(1,n)(2,n-1)\cdots \). Die sämtlichen in der symmetrischen Gruppe enthaltenen, bei \(T\) einzeln invarianten Elemente bilden eine Gruppe \(G\); der Durchschnitt \(K_{np}G\) steht in entsprechendem Zusammenhang mit den Koeffizienten der asymptotischen Reihen für \[ F_1(z,\lambda ) = \int \limits _0^\infty \frac {(1-\lambda )e^{-zu}du}{e^{(1-\lambda ^2)u} -\lambda }\quad \text{bzw.}\quad F_2(z,\lambda )=\int \limits _0^\infty \frac {(1-\lambda )e^{(1-\lambda -z)u}du} {e^{2(1-\lambda )u}-\lambda }, \] wie \(K_{np}\) mit \(F(z,\lambda )\). - Für \(\lambda = -1\) folgt ferner eine kombinatorisch-gruppentheoretische Deutung der Koeffizienten von \[ \operatorname {tg} x = x + \sum _{n=2}^\infty \frac {A_{2n-1}x^{2n-1}}{(2n-1)!}: \] es wird \(A_{2n-1} = (-1)^{n+1} (E_{2n-1} - Q_{2n-1})\), wenn \(E_n\), \(Q_n\) die Anzahlen derjenigen Umordnungen der symmetrischen Gruppe von \(n\) Ziffern bedeutet, bei denen die Zahl der Fehlstände benachbarter Ziffern gerade bzw. ungerade ausfällt. Ähnliches gilt für die Entwicklung von \(1/\cos x\) nach Potenzen von \(x\).