Über Funktionen mit positivem Realteil. (Q5893106)

In der Elektrotechnik auftretende praktische Aufgaben über Schaltungen führen auf das folgende mathematische Problem (vgl. Verf., Math. Ann. 105 (1931), 86-132; F. d. M. \(57_{\text I}\), 728): Gegeben seien drei nicht negative quadratische Formen von \(n\) Variabeln mit den Matrizen \(L\), \(R\), \(D\). Es sei \(\lambda \) eine komplexe Veränderliche und \[ A = L\lambda + R + D\lambda ^{-1}. \] Für wenigstens einen Punkt der rechten \(\lambda \)-Halbebene sei der Realteil von \(A\) positiv definit. Bezeichnet man dann eine gegebene quadratische, symmetrische, \(q\)-reihige Funktionenmatrix \(Q\), die als Hauptminor einer Matrix \(A^{-1}\), bei der \(n\geq q\) ist, dargestellt werden kann, kurz als ``darstellbar'', so wird zunächst nach notwendigen und hinreichenden Bedingungen dafür gefragt, daß eine Funktionenmatrix darstellbar ist. Sind die Bedingungen dafür erfüllt, so wird die Angabe einer Darstellung, allgemeiner aller Darstellungen, verlangt. Wie eine einfache Überlegung zeigt, ist eine notwendige Bedingung für die Darstellbarkeit einer Matrix \(Q\) die, daß \(Q\) in der rechten \(\lambda \)-Halbebene regulär ist, der Realteil von \(Q\) dort zu einer positiv definiten quadratischen Form gehört und \(Q\) für reelle \(\lambda \) reelle Werte annimmt. Eine diesen notwendigen Bedingungen genügende symmetrische Matrix \(Q\) wird ``positiv'' genannt. Vermutet wird, daß jede positive Matrix umgekehrt auch darstellbar ist. Die Richtigkeit dieser Vermutung wird in der vorliegenden Arbeit für gewisse zu \(q=1\) und \(q=2\) gehörige Fälle bewiesen (vgl. dazu auch \textit{O. Burne}, 1931; F. d. M. \(57_{\text I}\), 1159). Daneben werden noch für die elektrotechnischen Anwendungen wichtige Interpolationsprobleme behandelt, bei denen es darum geht, eine numerisch oder graphisch oder durch gewisse ideale Forderungen gegebene Matrix \(Q^*\) durch positive Matrizen \(Q\), deren Elemente rationale Funktionen sind, zu approximieren.