The Poisson integral for functions with positive real part. (Q5893107)

Das Ziel der Note ist die Herleitung einer \textit{Poisson}schen Integraldarstellung für die Funktionen \(g(\lambda )\), die in der rechten \(\lambda \)-Halbebene regulär sind und dort einen nichtnegativen Realteil aufweisen, speziell für solche Funktionen der genannten Art, die für reelle Werte von \(\lambda \) reell sind. Diese letztere Funktionsklasse und ihre Integraldarstellung ist von Bedeutung für die Theorie der Siebschaltungen. Anknüpfend an eine auf \textit{G. Herglotz} (1911; F. d. M. 42, 438 (JFM 42.0438.*)-439) zurückgehende Integraldarstellung für Funktionen, die im Einheitskreis regulär sind und daselbst einen nichtnegativen Realteil besitzen, wird beweisen: (1) Jede Funktion \(g(\lambda )\), die in \(\mathfrak R(\lambda )>0\) regulär ist und daselbst einen nichtnegativen Realteil hat, läßt sich darstellen in der Form \[ g(\lambda ) = \int \limits _{-\infty }^{+\infty }\frac {iy\lambda -1}{iy-\lambda } d\nu (y)+C\lambda +k, \] wobei \(\nu \) eine nicht abnehmende, beschränkte Funktion, \(C\) eine nichtnegative und \(k\) eine rein imaginäre Konstante bedeuten. (2) Ist überdies \(g(\lambda )\) für reelle Werte von \(\lambda \) reell, so läßt sie die Darstellung zu: \[ g(\lambda ) = \lambda \biggl [C+\int \limits _0^\infty \frac {d\psi (x)}{\lambda ^2+x}\biggr ], \tag{\(^*\)} \] wo \(C\) eine nichtnegative Konstante, \(\psi \) eine nicht abnehmende Funktion bedeuten und das Integral im \textit{Stieltjes}schen Sinne zu nehmen ist. Umgekehrt, wenn das Integral \((^*)\) existiert, so stellt es eine Funktion der genannten Art dar.