An integral equation. (Q5893116)

Verf. untersuchen die Integralgleichung \[ f(x) = \frac \lambda {\Gamma (\alpha )} \int _x^\infty (y-x)^{\alpha - 1} f(y) dy, \tag{1} \] wo \(x, f(x)\) und \(\lambda \) reell sind und \(\alpha \) positiv ist. Für ganzes \(\alpha = p\) ist sie durch die Substitutionen \[ f_1(x) = \int _x^\infty f(y) dy, \quad f_2(x) = \int _x^\infty f_1(y) dy, \dots \] mit \(z = f_p(x)\) äquivalent mit der Differentialgleichung \[ \frac {d^pz}{dx^p} = (-1)^p \lambda z. \] Diese hat nur Exponentialfunktionen zur Lösung. Die Verf. zeigen, daß\ das Gleiche auch für die allgemeine Gleichung (1) gilt und beweisen den Satz: 1) Sei \(\lambda > 0,\;0 < \alpha < 1\); 2) \(f(x)\) sei nach \textit{Lebesgue} in jedem Intervall der positiven \(x\)-Achse integrabel; 3) das Integral in (1) existiere für alle positiven \(x\) in dem Sinn \(\lim _{X \to \infty, \delta \to 0} \int _{x+\delta }^X\). Dann hat (1) für positive \(x\) die Lösung \[ f(x) = C e^{-ax}, \] mit \(a = \lambda ^{\frac 1\alpha }\) und Konstantem \(C\), und nur diese. Der Beweis beruht auf der \textit{Mellin}schen Transformation.