On the compactness of the space \(L_p\). (Q5893117)

Es bezeichne \(L_p (p > 1)\) den Raum aller Punktfunktionen \(f(x)\) im \(n\)-dimensionalen Zahlenraum \(R\;(x,y, \dots \) Punkte,\ \(dx, dy, \dots \) Raumelemente) mit \(\int _R |f(x)|^p dx < \infty \)\ und der Metrik \({\parallel f \parallel } = \left [ \int _R |f(x|^p dx \right ]^ {1/p}\); außerdem sei \[ f_\varepsilon (x) = \left [ \int _{|y-x| \leq \varepsilon } f(y) dy \right ] : \left [ \int _{|y-x| \leq \varepsilon } dy \right ], \] \[ f_N(x) = \begin{cases} f(x)\;\text{für}\;|x| \leq N \\ 0\;\text{für}\;|x| > N. \end{cases} \] Verf. beweist über \textit{Kolmogoroff} (1931; F. d. M. \(57_{\text I}\), 271) hinaus den folgenden Satz: Die Menge \(\mathfrak {F} \subset L_p\) ist dann und nur dann kompakt, wenn (I) \(\mathfrak {F}\) beschränkt ist, (II) die Funktionen \(f(x)\) von \(\mathfrak {F}\) (a) für \(\varepsilon \) durch \(f_\varepsilon (x)\), (b) für \(N \to \infty \) durch \(f_N(x)\) beliebig genau und gleichmäßig auf \(\mathfrak {F}\) approximiert werden können. Die Bedingung (I), (IIa) und (IIb) sind untereinander unabhängig.