La serie canonica e la teoria delle serie principali di gruppi di punti sopra una superficie algebrica (Q5893152)

Es sei \(F\) eine algebraische Fläche, \(J\) ihre \textit{Zeuthen}-\textit{Segre}sche Invariante, \(u\) ein beliebiges einfaches Integral erster Gattung auf \(F\). Betrachtet man dann die Kurven \(u=\) const, so bildet die Gesamtheit ihrer Doppelpunkte die sogenannte \textit{Jacobi}sche Gruppe von \(u\); sie besteht entweder aus \(J+4\) Punkten oder aus unendlichvielen Punkten, die dann, von endlichvielen Punkten abgesehen, \(2\rho -2\) Kurven eines irrationalen Büschels vom Geschlechte \(\rho \), welche für \(\rho >1\) eine kanonische Gruppe und für \(\rho =1\) die mehrfachen Festkurven des Büschels bilden, oder eine Reihe isolierter Kurven, die ausgezeichnet oder Bestandteile einer kanonischen Kurve von \(F\) sind, erfüllen. Die \textit{Jacobi}sche Gruppe individualisiert umgekehrt \(u\) in dem Sinne, daß\ zwei einfache Integrale erster Gattung mit gleicher \textit{Jacobi}scher Gruppe linear abhängig sind; ein entsprechender Satz gilt auch auf Kurven. Ähnlich gilt für die einfachen Integrale zweiter Gattung \(v\), insbesondere die rationalen Funktionen auf \(F\), daß\ nach Addition einer geeigneten rationalen Funktion \(v\) durch seine \textit{Jacobi}sche Gruppe und die Gruppe seiner Unbestimmtheitsstellen individualisiert wird. Mit Ausnahme des Falles, in dem \(F\) ein irrationales Kurvenbüschel vom Geschlechte \(q=p_g-p_a\) trägt, besteht die \textit{Jacobi}sche Gruppe des allgemeinen Integrals \(u\) erster Gattung aus endlich vielen Punkten, und diese Gruppen haben keinen Festpunkt. Die Gesamtheit dieser Gruppen nennt man heute die \textit{Severi}sche Schar \(W\) auf \(F\). \(W\) ist eine rationale Schar von Punktgruppen der Dimension \(q-1\), aber im allgemeinen nicht eine lineare Schar, d. h. ihre Gruppen sind im allgemeinen nicht projektiv den Punkten eines \(S_{q-1}\) zuzuordnen. Eine Schar von Punktgruppen heißt involutorisch, wenn bei Vorgabe so vieler Punkte, daß\ durch sie eine isolierte Gruppe geht, durch sie auch nur eine Gruppe der Schar geht; in diesem Sinne ist \(W\) eine involutorische Schar. Zwei beliebige Gruppen von \(W\) liegen immer auf einer Kurve, auf der sie im Sinne der Kurvengeometrie äquivalent sind, wobei die \(g^1_{J+4}\), der sie angehören, aus lauter Gruppen von \(W\) besteht. Die Gesamtheit der so sich ergebenden \(\infty ^{q-2}\) verbindenden Kurven bildet ein Linearsystem. Die \textit{Severi}sche Schar \(W\) hat den Verf. zum Aufbau der allgemeinen Theorie der Äquivalenzscharen von Punktgruppen geführt, die er in den folgenden Jahren zu einem der mächtigsten Instrumente der algebraischen Geometrie weiterentwickelt hat (vgl. nachstehendes Referat sowie F. d. M. \(59_{\text{II}}\), 1314; \(63_{\text I}\), 623). Als Definition wird festgesetzt: Eine Schar von Punktgruppen auf \(F\) heißt Äquivalenzschar, wenn irgend zwei Gruppen durch eine (gegebenenfalls reduzible) Kurve verbunden werden können, auf der sie äquivalent sind, und so, daß\ die sie verbindende Linearschar ganz aus Gruppen der Schar besteht. Es gilt der wichtige Satz, daß\ eine Äquivalenzschar (bis auf einen unwahrscheinlichen Ausnahmefall) stets involutorisch ist. Eine involutorische Schar, die aus den Schnittgruppen der Kurven zweier Linearsysteme von Kurven auf \(F\) gebildet wird, ist eine Äquivalenzschar, und jede rationale Schar von Gruppen von \(n\) Punkten ist in einer solchen Schnittschar oder eine linearen Punktgruppenschar enthalten.