Métrique vectorielle et géométrie des sphères (Q5893159)

Die vorliegende Arbeit behandelt die Kugelgeometrie, ähnlich wie seinerzeit \textit{E. Müller} (1892, 1893; F. d. M. 24, 604 (JFM 24.0604.*); 25, 1015) mit Mitteln, die der \textit{Graßmann}schen Ausdehnungslehre entnommen sind. Sind \(s_i=0\) fünf linear unabhängige Kugelgleichungen, bezogen auf ein rechtwinkliges kartesisches Koordinatensystem, so kann jeder weiteren Kugelgleichung die Form gegeben werden: \(s=\sum ^5_1 \mathfrak r_is_i=0\). Verf. betrachtet deshalb die linke Seite dieser Kugelgleichung \(s=\sum ^5_1 \mathfrak r_is_i\) als extensive Größe \(s\), die aus fünf unabhängigen Einheiten \(s_i\) eines Hauptgebiets fünfter Stufe mittels der fünf homogenen Koordinaten \(\mathfrak r_i\) ableitbar ist. Er wählt dabei für die \(s_i\) die drei Koordinatenebenen (als ausgeartete Kugeln), sowie die Kugeln um den Ursprung mit den Radien 1 und \(\sqrt {-1}\). Für solch ein Hauptgebiet \(\mathfrak n\)-ter Stufe von Extensen \(x=\sum ^{\mathfrak n}_1 \mathfrak r_i s_i\) definiert Verf. einleitend unmittelbar das kommutative innere (skalare) Produkt \(x|x'=\sum _i\sum _k \mathfrak r_i \mathfrak r'_k s_i|s_k\) durch vorgegebene Werte \(s_i|s_k=s_k|s_i=\mathfrak g_{ik}\). Er setzt dabei für obiges Hauptgebiet fünfter Stufe \[ s_i|s_i = + 1 \;\text{und} \;s_i|s_k = 0 \;\text{für} \;i\not = k. \] Mit Hilfe dieses inneren Produktes stellt er dann auch lineare homogene Funktionen solcher Extensen in dyadischer Form dar und bildet weiter aus zwei ``unbestimmten'' Produkten ``mehrfaltige Produkte'', aber von anderer Art als \textit{E. Müller} (1914; F. d. M. 45, 229 (JFM 45.0229.*)). Endlich führt er auch das progressive äußere Produkt, sowie die ``Ergänzung'' und das regressive äußere Produkt solcher Extensen ein. Diese Hilfsmittel wendet er nun an auf die Kugelgeometrie und betrachtet als elementare Invarianten zunächst die inneren Produkte \(s|s'\) und ``Normen'' \(s|s\) solcher Kugeln. Denn dieselben sind invariant gegenüber allen Transformationen einer Gruppe \(G\), der linearen Transformationsgruppe der Kugelgeometrie. Auf sie beziehen sich die ``sphärischen Operationen'', wie sie Verf. nennt, mit denen er die Invarianten dieser Gruppe gewinnt. Die Anwendung des Begriffs der (progressiven) äußeren Multiplikation auf die Kugelgrößen \(s\) führt zu Größen zweiter bis fünfter Stufe. Das Produkt \([ss']\) ist dabei zu deuten als der Schnittkreis der Kugeln \(s\) und \(s'\), als Träger des zugehörigen Kugelbüschels. Ebenso bedeutet \([ss's'']\) die Gesamtheit der Kugeln der durch \(s,s'\) und \(s''\) bestimmten Kugelschar, vom Verf. ``dualer Kreis'' genannt, weil auf solche Größen auch das regressive Produkt zweier ``dualer Kugeln'' führt. Mit dem letzteren Namen bezeichnet nämlich der Verf. das äußere Produkt \([ss's''s''']\) von vier Kugeln, das aus den vier Kugeln ableitbare Kugelnetz als Ganzes, weil dasselbe als Größe vierter, d. h. \((\mathfrak n -1)\)-ter Stufe dual ist zur Kugel, die hier eine Größe erster Stufe ist. Das äußere Produkt von fünf Kugeln, die Gesamtheit aller Kugelgrößen des Raumes, ist ein Skalar, dual zur reinen Zahlgröße als Größe 0-ter Stufe, und deshalb vom Verf. ``duale Zahlgröße'' genannt. Der Verf. gewinnt nun seine weiteren Ergebnisse durch die Betrachtung der verschiedenen Arten von ``sphärischen Operationen'' im besonderen wie im allgemeinsten Fall. Die Verwendung \textit{Graßmann}scher Methoden erleichtert zweifellos sehr die gedankliche und die rechnerische Arbeit. Doch wäre zu wünschen, daß\ sich für alle solche Arbeiten mehr als bisher eine \textit{einheitliche} Bezeichnung durchsetzt, die es dem Leser erspart, immer wieder neue Symbole sich einzuprägen.