Sur les ensembles ordonnés. (Q5893240)

Zwei Hilfssätze, die Verallgemeinerungen bekannter Gedankengänge \textit{Cantor}s über die Ordnungstypen \(\eta\) und \(\theta\) darstellen, werden herangezogen zum Beweis des folgenden, auch sinngemäß umkehrbaren Satzes: Jede ``monotone'' Menge verschiedener nichtleerer abgeschlossener Mengen (d. h. jede Menge, deren Elemente paarweise in der Relation der Teilmenge bzw. des Umfassens zueinander stehen und daher gemäß einer dieser Relationen geordnet werden können) ist ähnlich einer linearen Menge \(M\) auf einer Strecke derart, daß M alle im Innern der Strecke gelegenen einseitigen Grenzpunkte enthält (``halbgeschlossene'' Menge). Der Beweis benutzt das Auswahlprinzip, aber nicht die transfinite Induktion. Daraus ergibt sich ein auf transfinite Induktion verzichtender Beweis des bekannten Satzes: Ist die monotone Menge so beschaffen, daß die oben erwähnte Ordnung eine wohlgeordnete Menge liefert, so ist die Menge abzählbar.