The discriminant matrix of a semi-simple algebra. (Q5893277)

\(\mathfrak A\) sei eine lineare assioziative Algebra mit Haupteinheit über einem Körper \(\mathfrak F\). Verf. beweist, daß sich in \(\mathfrak A\) eine Basis \(e_1, e_2, \dots, e_n\) so wählen läßt, daß die zugehörige erste Diskriminantenmatrix die Gestalt hat: \[ T_1 = \begin{pmatrix} g_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & g_2 & \cdots & 0 \\ \cdot & \cdot & \cdots & \cdot \\ \cdot & \cdot & \cdots & \cdot \\ \cdot & \cdot & \cdots & \cdot \\ 0 & 0 & \cdots & g_n \end{pmatrix}, \] wobei \(g_i\) in \(\mathfrak F\) liegt. In diesem Fall heißt die Basis Normalbasis. Bedeuten die Größen \(c_{r i p}\) die zugehörigen Multiplikationskonstanten, so gelten die Relationen: \[ g_p c_{r i p} = g_i c_{p r i}. \] Wird \(\mathfrak A\) als halbeinfach vorausgesetzt, so folgt hieraus, daß für jede Basis erste und zweite Diskriminantenmatrix übereinstimmen, ferner, daß erste und zweite Matrix eines Elements \(x\) aus \(\mathfrak A\) in der Beziehung \[ R(x) = T^{-1} S(x) T \] stehen, wenn \(T\) eine Diskriminantenmatrix ist, so daß auch die beiden charakteristischen Funktionen \(|R(x) - \omega E|\) und \(|S(x) - \omega E|\) identisch sind. Ist \(\mathfrak A\) die direkte Summe \(\mathfrak B \oplus \mathfrak C\), so läßt sich die Basis von \(\mathfrak A\) so wählen, daß die zugehörige Diskriminantenmatrix \(T(\mathfrak A)\) in folgender Weise zerfällt: \[ T(\mathfrak A) = \begin{pmatrix} T(\mathfrak B) & O \\ O & T(\mathfrak C) \end{pmatrix}. \] Ist \(\mathfrak A\) das direkte Produkt \(\mathfrak B \times \mathfrak C\), so läßt sich entsprechend die Basis in \(\mathfrak A\) so bestimmen, daß \[ T(\mathfrak A) = T(\mathfrak B) \times T(\mathfrak C) \] ist (\textit{Kronecker}sches Produkt). Ist \(\mathfrak A\) vollständige Matrixalgebra der Ordnung \(n\) bezüglich \(\mathfrak F\), so gewinnt \(T(\mathfrak A)\) bei passender Anordnung der Matrizeneinheiten die Gestalt: \[ \begin{pmatrix} n & 0 & \cdots & 0 & & & & & \\ 0 & n & \cdots & 0 & & & & & \\ \cdot & \cdot & \cdots & \cdot & & & & & \\ \cdot & \cdot & \cdots & \cdot & & & & & \\ \cdot & \cdot & \cdots & \cdot & & & & & \\ 0 & 0 & \cdots & n & & & & & \\ & & & & 0 & n & & & \\ & & & & n & 0 & & & \\ & & & & & & \cdots & & \\ & & & & & & \cdots & & \\ & & & & & & \cdots & & \\ & & & & & & & 0 & n \\ & & & & & & & n & 0 \end{pmatrix} \]