The arithmetical reduction of quadratic forms. (Q5893295)

Bedeutet \(f_n\) eine quadratische Form der \(n\) Veränderlichen \(x_1, x_2, \dots, x_n\) mit ganzzahligen Koeffizienten \(a_{ij}\) und der Determinante \(a_n = | a_{ij}|\), dann gibt es zu jedem \(a_n\) eine endliche Anzahl von Formen, die untereinander nicht äquivalent sind bei ganzzahligen, unimodularen, homogenen und linearen Transformationen. Verf. gibt hierfür einen kurzen Beweis, der dem von \textit{Hermite} nachgebildet ist, aber auch für indefinite Formen \(f_n\) gültig bleibt. Ist \(M \geqq 1\) das Minimum von \(|f_n|\) \ für alle \(f_n \neq 0\), dann wird durch eine zweifache vollständige Induktion bewiesen, daß (1) die Klassenzahl für \(f_j\) mit \(a_j \neq 0\) endlich ist, und daß (2) für jedes \(f_j\) mit \(a_j \neq 0\) eine nur von \(j\) abhängige Zahl \(k_j\) existiert mit \[ (M(f_j))^j \leqq k_j |a_j|. \] Die \textit{Hermite}sche Reduktion \[ a_{11} f_n = (a_{11} x_1 + a_{12} x_2 + \cdots + a_{1n} x_n)^2 + f_{n-1} \] und obige Ungleichung ermöglichen es dann, gewisse, mit \(f_n\) äquivalente ``Standardformen'' anzugeben, für welche \[ |a_{11}^{n-1} a_{ij}| \leqq c_n |a_n| \] gilt, wo \(c_n\) nur von \(n\) abhängt. Hieraus folgt die Beschränktheit der \(|a_{ij}|\) und also die Endlichkeit der Klassenzahl.