Risultati, vedute e problemi nella teoria delle funzioni analitiche di due variabili complesse. (Q5893378)

Verf. liefert eine vollständige Übersicht über den Stand der Untersuchungen zur Funktionentheorie zweier komplexer Veränderlichen im Jahre 1931. In den vorangehenden Jahren waren vor allem italienische Arbeiten erschienen, darunter zahlreiche des Verf. So tritt ganz naturgemäß das Referat über die darin behandelten Probleme in den Vordergrund, während z. B. die Untersuchungen über die analytischen (pseudokonformen) Abbildungen sehr viel kürzer behandelt werden. Der Bericht beginnt mit dem Ansatz von \textit{Weierstraß}. Zuerst werden die Potenzreihen \[ \sum a_{mn}(w-w_0)^m(z-z_0)^n \] besprochen. Auf Grund einer eigenen Konvergenztheorie des Verf. wird der \textit{invariante} Konvergenzkörper eingeführt. Ihn sieht Verf. erst als das Gegenstück des Konvergenzkreises der klassischen Theorie an. Der Bericht fährt dann fort mit der Besprechung der eigentlichen Kreiskörper und der eigentlichen \textit{Reinhardtschen} Körper, hier Sphäroide genannt. Hierher gehören auch die Sätze über die assoziierten Konvergenzradien. Nun erst wird die reguläre Funktion definiert, und zwar als eine eindeutige, stetige Funktion mit Ableitungen nach den beiden komplexen Veränderlichen. Es folgen dann natürlich die Gegenstücke zu den \textit{Cauchy-Riemann}schen Differentialgleichungen, dem \textit{Cauchy}schen Integralsatz und dem Satz von \textit{Morera}. Der Bericht über die Verteilung der singulären Punkte wird mit den \textit{Hartogs}schen Sätzen eingeleitet. Sodann bekommt man eine Übersicht über die zahlreichen anschließenden italienischen Arbeiten betreffend die zweidimensionalen und die dreidimensionalen Singularitätenmannigfaltigkeiten (vgl. vor allem \textit{E. E. Levi} und \textit{B. Segre}). Von hier aus führt eine vom Ref. aufgegriffene Verbindung zu Kriterien für spezielle Regularitätsbereiche (vgl. \textit{H. Behnke}, 1927; F. d. M. 53, 314 (JFM 53.0314.*)). Da indessen damals die grundlegenden Arbeiten von \textit{Henri Cartan} und den deutschen Autoren (vor allem \textit{P. Thullen}) noch nicht veröffentlicht worden waren, kommt im vorliegenden Bericht die fundamentale Theorie der Regularitätsbereiche am kürzesten weg. Im Gegensatz dazu wird dann -- was bei der Akzentuierung des geometrischen Teils der Theorie durch den Verf. besonders nahe liegt -ausführlicher über die beiden wichtigsten Möglichkeiten, den \((w, z)\)-Raum abzuschließen, referiert. Wichtig ist vor allem der Bericht über das \textit{Segre}sche Modell des projektiv-komplex abgeschlossenen \((w, z)\)-Raumes. Aus dem Analogon zum Satze von \textit{Liouville} für die Funktionen \(f(w, z)\) werden im nächsten Abschnitte sehr interessante Folgerungen gezogen. So etwa die: Ist im projektiv abgeschlossenen Raume \(f(w, z)\) in allen Punkten einer analytischen Ebene regulär, so ist \(f(w, z)\) konstant. (Der Satz ist \textit{falsch} in dem Raume, den man durch Abschließung mittels \(w'= w\), \(z'= \dfrac1z\) und \(w' = \dfrac1w\), \(z' = z\) gewinnt.) Gerade zur Zeit der Niederschrift dieses Referats -- April 1935 -- erscheint eine in Rom verfaßte Arbeit von \textit{P. Thullen} (Math. Ann 111 (1935), 137-157; F. d. M. 61), die dieses und ähnliche Resultate wesentlich erweitert. Der letzte Teil des Berichts beschäftigt sich mit den biharmonischen Funktionen und dem zugehörigen \textit{Dirichlet}schen Problem. Naturgemäß stehen hier die Untersuchungen des Verf. im Vordergrunde. Dazu kommen Ergebnisse von \textit{Levi-Civita}, \textit{Fubini, Wirtinger} und \textit{S. Bergmann}.