Some self-reciprocal functions. (Q5893398)

Für die \textit{Bessel}schen Funktionen zweiter Art \(K_\nu (z)\) wird zunächst die Formel \[ \begin{aligned} \qquad\qquad\qquad\qquad F_\nu (z)&={\frac{1}{2}}\varGamma (\nu )+2 \textstyle \sum\limits_{n=1}^{\infty } \displaystyle ({\frac{1}{2}}nz)^\nu \,K_\nu (nz)\\ &\,=\varGamma ({\frac{1}{2}})\varGamma (\nu + {\frac{1}{2}})\,z^{2\nu }\; \biggl[\frac{1}{z^{2\nu +1}}+2 \textstyle \sum\limits_{n=1}^{\infty } \displaystyle \frac{1}{(z^2+4n^2\pi ^2)^{\nu +\frac{1}{2}}}\biggr] \end{aligned} \] für \(\mathfrak R(z)>0\), \(\mathfrak R(\nu )>0\) bewiesen. Sodann wird gezeigt, daß für \(x > 0\), \(a > 0\) und \[ \mathfrak R(\mu +\tfrac{1}{2})>\mathfrak R(\nu )>0 \] die Funktionen \[ (ax)^{\mu -2\nu +\frac{1}{2}}F_\nu (ax)\quad\text{und}\quad \frac{\sqrt{2\pi }}{a}\fracwithdelims(){x}{2a}^{2\nu -\mu -\frac{1}{2}} F_{\mu -\nu +\frac{1}{2}}\fracwithdelims(){2\pi x}{a} \] bei der \textit{Hankel}schen Transformation der Ordnung \(\mu \) reziprok sind. Insbesondere ist für \(\mathfrak R(\nu )>0\) die Funktion \(F_\nu \bigl(x\sqrt{2\pi }\bigr)\) selbstreziprok bei der Ordnung \(2\nu -\frac{1}{2}\). Es wird sodann nach den Kriterien von \textit{Hardy-Titchmarsh} (1930; F. d. M. \(56_{\text{II}}\), 1016) formal untersucht, wann eine Reihe der Form \[ \textstyle \sum\limits_{n=1}^{\infty } \displaystyle f(nx)\quad\text{bzw.}\quad\textstyle \sum\limits_{n=0}^{\infty } \displaystyle (-1)^nf\bigl((2n+1)\,x\bigr) \] bei der \textit{Hankel}schen Transformation der Ordnung \(\nu \) selbstreziprok ist. Im ersten Falle muß \(f(x)\) der Integralgleichung \[ f(x)=2\int\limits_{0}^{\infty }\int\limits_{0}^{\infty } \sqrt{xt}J_\nu (xt)\,\cos\biggl(\frac{2\pi y}{t}\biggr)\,f(y) \frac{dt}{t}\,dy, \] im zweiten aber \[ f(x)=\int\limits_{0}^{\infty }\int\limits_{0}^{\infty } \sqrt{xt}J_\nu (xt)\,\sin\biggl(\frac{\pi y}{2t}\biggr)\, f(y)\frac{dt}{t}\,dy \] genügen. (IV 7.)