On the irregularity of cyclic multiple planes. (Q5893402)

Es sei \(f(x, y) = 0\) eine Kurve \(m\)-ter Ordnung, die die unendlich ferne Gerade in \(m\) verschiedenen Punkten schneidet und keine andern Singularitäten hat als Spitzen und gewöhnliche Doppelpunkte. Die Irregularität \(p_g-p_a\) der Fläche \(z^n=f(x,y)\) wird bestimmt. Sie drückt sich aus durch \(m\), \(n\) und die Überschüsse der linearen Systeme von Kurven \((m-3)\)-ten und niedrigeren Grades, die durch alle Spitzen der Kurve \(f = 0\) gehen. Im Falle \(m\leqq n\) wird die Irregularität auf dem Wege über das geometrische Geschlecht ermittelt: Es wird die Anzahl linear unabhängiger Doppelintegrale erster Gattung bestimmt. Mit Hilfe der andern Bedeutung der Irregularität als Anzahl der linear unabhängigen einfachen Integrale erster Gattung wird das Ergebnis auf den Fall \(m > n\) übertragen. Nebenher ergeben sich höchst merkwürdige Aussagen des Inhalts, daß es keine ebene algebraische Kurve gibt, bei der Ordnung, Klasse, Zahl der Spitzen, Wendepunkte, Doppelpunkte und Doppeltangenten bestimmte mit den \textit{Plücker}schen Formeln verträgliche Werte haben; dies gilt z. B., wenn die sechs Werte der Reihe nach 7, 9, 11, 17, 0, 7 sind. (V 5 C.)