Sur les fonctions hyperabéliennes. (Q5893409)

Die hyperabelschen Funktionen \(F(x, y)\) und \(f(x, y)\) gehören bzw. zu den hyperabelschen Gruppen \(G\) und \(g\); Verf. stellt die Frage nach den Relationen \(\varphi (X, x) = 0\) und \(\psi (Y, y) = 0\), die bestehen müssen, wenn \(F\) und \(f\) durch die algebraische Relation \(R(F(X,Y), f(x,y))=0\) verbunden sind. Für den Fall, daß \(\varphi \) und \(\psi \) linear sind, ist das Problem äquivalent mit einem von \textit{Poincaré} (Oeuvres, t. II (1916; F. d. M. 46, 4 (JFM 46.0004.*)-5), p. 508) erledigten Fall. Sind \(\varphi \) und \(\psi \) nicht linear, so reduzieren sie sich einfach (abgesehen eventuell noch von linearen Transformationen der \(X\), \(Y\), \(x\), \(y\)) auf \(X^M = x^m\), \(Y^N = y^n\), wo \(M\), \(N\), \(m\), \(n\) natürliche Zahlen sind. Die Relation \(R\) wird dann zu \[ R\Bigl(F\Bigl(x^{\tfrac{m}{M}}, y^\tfrac{n}{N}\Bigr), f(x, y)\Bigr)=0. \] In dem Fall, daß \(G\) und \(g\) durch Überlagerung (direkte Multiplikation) zweier \textit{Fuchs}scher Gruppen entstehen, müssen \(F\) und \(f\) einfach oder doppelt periodisch sein.