On the characteristic values of linear integral equations. (Q5893411)

Verf. untersuchen die Verteilung der Eigenwerte einer linearen Integralgleichung gemäß den analytischen Eigenschaften des Kerns. Die Methode, deren sie sich bedienen, ist im wesentlichen folgende: Durch ein vollständiges normiertes Orthogonalsystem \(\varphi _1(x)\), \(\varphi _2(x)\), \(\ldots\): \[ \textstyle \int\limits_{a}^{b} \displaystyle \varphi _k(x)\,\overline{\varphi }_l(x)\,dx= \delta _{kl}=\begin{cases} 0,\;\;\text{wemm}\;\;k\not=l,\\ 1,\;\;\text{wenn}\;\;k=l,\end{cases} \] wird die Integralgleichung \[ \displaylines{\rlap{\qquad\!(1)} \hfill y(x)=\lambda \textstyle \int\limits_{a}^{b} \displaystyle K(x,\xi )\,y(\xi )\,d\xi \hfill} \] in geläufiger Weise auf das unendliche Gleichungssystem \[ \displaylines{\rlap{\qquad\!(2)} \hfill y_i=\lambda \textstyle \sum\limits_{l=1}^{\infty } \displaystyle K_{il}y_l\qquad(i=1,2,\ldots)\hfill} \] zurückgeführt, wo \[ y_\nu =\textstyle \int\limits_{a}^{b} \displaystyle y(x)\,\overline{\varphi }_\nu (x)\,dx,\;\;K_{il}= \textstyle \int\limits_{a}^{b}\int\limits_{a}^{b} \displaystyle K(x,\xi )\,\overline{\varphi }_i(x)\,\varphi _l(\xi )\,dx\,d\xi \] ist. Es kommt nun darauf an, die Determinante \[ A(\lambda )=\;\text{Det}\,(\delta _{il}-\lambda K_{il}) \] zu untersuchen. Um sie konvergent zu machen, werden konvergenzerzeugende Faktoren derart eingeführt, daß man \[ \begin{gathered} K_{il}^{ *}=e^{\lambda K_{ii}}K_{il}\;\;\text{für}\;i\not=l,\;\;1-\lambda K_{ii}^{ *}= e^{\lambda K_{ii}}(1-\lambda K_{ii})\\ \text{und} K_{il}^{{ *}(m)}= \begin{cases} K_{il}\;\;\;\text{für}\;\,i=1,2,\dots,m,\\ K_{il}^{ *}\;\;\;\text{für}\;\,i=m+1,\ldots\end{cases}\end{gathered} \] setzt. Dann betrachte man die Determinante \[ A_{m}^{ *}(\lambda )=\;\text{Det}\,(\delta _{il} \lambda K_{il}^{{ *}(m)}). \] Durch Multiplikation von (2) mit geeigneten Faktoren kann die Aufgabe auf die Untersuchung solcher Determinanten zurückgeführt werden. Sie können nach dem \textit{Hadamard}schen Satz abgeschätzt werden. Die Restabschätzung wird durch \[ \textstyle \sum\limits_{i=m+1}^{\infty } \sum\limits_{l=i}^{\infty } \displaystyle|\,K_{il}\,|^2= \textstyle \int\limits_{a}^{b}\int\limits_{a}^{b} \displaystyle \Bigl|\,K(x,\xi )-\textstyle \sum\limits_{i=1}^{m} \displaystyle \varphi _i(x)\textstyle \int\limits_{a}^{b} \displaystyle K(t,\xi )\,\overline{\varphi }_i(t)\,dt\,\Bigr|^2\,dx\,d\xi \] auf die beste Mittelapproximation von \(K\) durch das System der \(\varphi _i\) zurückgeführt, die den verschiedenen über \(K\) gemachten Annahmen gemäß auf verschiedene Arten durchzuführen ist. Man erhält so eine Abschätzung der Ordnung der Determinante von (2) bzw. der modifizierten, was dann die Aussagen über die Nullstellen \(\lambda _n\) liefert. Dies folgt aus den Sätzen über ganze Funktionen. Die Methode wird auf verschiedene Arten von Kernen angewendet. Begonnen wird mit solchen der Form \(K(x-\xi )\), wo \(K(t)\) periodisch in \(\langle a, b \rangle\) ist. Als Funktionen \(\varphi _\nu (x)\) wählt man hier \(e^{i\nu x}\). Sodann werden auf diesem Wege Ergebnisse von \textit{I. Schur, Carleman, Lalesco, Gheorghiu} über quadratisch integrierbare und zusammengesetzte Kerne, d. h. solche der Form \[ K(x,\xi )=\textstyle \int\limits_{a}^{b}\ldots \int\limits_{a}^{b} \displaystyle K_1(x, s_1)\,K_2(s_1, s_2)\ldots K_n(s_{n-1},\xi )\,ds_1\ldots ds_{n-1}, \] neu hergeleitet und verallgemeinert. Kerne, die einer \textit{Lipschitz}bedingung genügen, werden untersucht, und schließlich solche, die in \(x\) eine ganze Funktion sind. Hier bedient man sich der normierten \textit{Legendre}schen Polynome als Funktionen \(\varphi _\nu (x)\). Die Fülle der Ergebnisse kann hier nicht im einzelnen wiedergegeben werden. Um nur ein Beispiel zu nennen: Für einen Kern der Ordnung \(\varrho >0\) gilt: \[ |\,\lambda _n\,|>\exp\,\biggl(\frac{1-\varepsilon }{4\varrho } \,n\,\log\,n\biggr). \]