Über eine Klasse singulärer Integralgleichungen. (Q5893414)

Die Integralgleichung \[ f(x)=\int\limits_{0}^{\infty} K(x-y) f(y)\, dy, \tag{1} \] wo der als symmetrisch vorausgesetzte Kern \(K(x)\) für große \(|x|\) \ wie \(e^{-|x|}\) klein wird, ist vom ``Faltungstypus'', kann also vermittels \textit{Laplace}-Transformation angegriffen werden, wodurch sich alle Lösungen \(f(x)\) ergeben, die für große \(x\) höchstens wie eine im Vergleich zum Kern schwächere Exponentialfunktion groß werden. Dazu wird die Gleichung (1) zunächst in der Form \[ g(x)=f(x)-\int\limits_{-\infty}^{+\infty} K(x-y) f(y)\, dy \tag{2} \] mit \(f(x)=0\) für \(x < 0\), \(g(x) = 0\) für \(x > 0\) geschrieben, wobei \(g (x)\) für \(x < 0\) durch die rechte Seite von (2) definiert ist. Vermöge des ``Faltungssatzes'' gilt dann für die \textit{Laplace}-Transformierten \[ \varphi(u) = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} e^{ux} f(x) \, dx, \quad \gamma(u)=\int\limits_{-\infty}^{+\infty} e^{ux} g(x) \, dx, \quad \varkappa(u)=\int\limits_{-\infty}^{+\infty} e^{ux} K(x) \, dx \] die algebraische Gleichung \[ \gamma(u)=\varphi(u) (1-\varkappa(u)), \] woraus man \(\varphi(u)\) und dann nach der \textit{Mellin}schen Umkehrformel \(f(x)\) erhält. Die funktionentheoretische Diskussion ergibt folgendes Resultat: Ist bei symmetrischem Kern \(2n\) die immer endliche Anzahl der in ihrer Vielfachheit gezählten Nullstellen von \[ 1-\int\limits_{-\infty}^{+\infty} K(x) e^{ux} \, dx \] im Streifen \(|\mathfrak{R} u| \leqq \alpha < 1\), so ist die Maximalzahl der linear unabhängigen Lösungen von (1) mit \[ f(x)=O(e^{(\alpha + \delta)x}) \] und beliebigem \(\delta > 0\) genau gleich \(n\). Die Lösungen haben die Form \[ f(x)=\sum Q(x) e^{-u^*x} + O(e^{-\beta x}), \] wobei \(u^*\) eine der obigen Nullstellen bedeutet und \(Q (x)\) ein Polynom ist, dessen Grad kleiner als die Vielfachheit von \(u^*\) ist; \(\beta\) ist eine Zahl mit \(\alpha < \beta < 1\) derart, daß die Streifen \(\alpha < |\mathfrak{R} u| < \beta\) keine Nullstellen enthalten.