On the asymptotic solutions of ordinary differential equations, with an application to the Bessel functions of large order. (Q5893431)

Es ist bekannt, daß die Lösungen der Differentialgleichung \[ u''(x) + \{\varrho^2\varPhi^2(x) - f(x)\}u(x) = 0, \tag{1} \] betrachtet als Funktionen des komplexen Parameters \(\varrho\), asymptotisch ein oszillierendes oder exponentielles Verhalten zeigen, je nachdem, ob \(\varPhi^2(x)\) für die betrachteten \(x\)-Werte positiv oder negativ ist. Der erste Teile der vorliegenden Arbeit erörtert die asymptotische Abhängigkeit der Lösungen von \(\varrho\) in der Nachbarschaft einer Nullsteile von \(\varPhi^2(x)\) und führt zu der asymptotischen Form der Lösungen von (1), wenn sie Randbedingungen an einer Nullstelle von \(\varPhi^2(x)\) unterworfen sind. Im zweiten Teil wird die allgemeine Theorie angewendet, um die asymptotischen Entwicklungen der \textit{Bessel}schen Funktionen \(J_\varrho (\varrho t), Y_\varrho (\varrho t), H_\varrho (\varrho t)\) für große positive Werte von \(\varrho\) zu gewinnen, wobei \(t\) irgendeine positive Zahl bedeutet. Verf. setzt voraus, daß \[ \varPhi^2(x)\equiv x^\nu F(x) \qquad (\nu\geqq 0) \] ist, wobei \(F(0)\) endlich und von Null verschieden ist, und daß \(F'' (x)\) in einem Intervall \(I\) stetig ist, das den Punkt \(x = 0\) in seinem Innern enthält; \(f(x)\) wird als beschränkt in jedem endlichen Teilintervall von \(I\) vorausgesetzt, und \(x = 0\) sei die einzige Nullstelle von \(\varPhi^2(x)\) in \(I\). Wenn \(I\) unendlich ist, wird eine weitere (Konvergenz-)Bedingung für die Intervalle \((-\infty, -\Delta)\) oder \((+\Delta, +\infty)\) hinzugefügt. Zusammen mit der Gleichung (1) stellt er eine verwandte Differentialgleichung vom selben Typus auf: \[ y''(x)+\{\varrho^2\varPhi^2(x) - \omega (x)\}y(x) = 0, \tag{2} \] worin die Funktion \(\omega (x)\) von \(\varPhi (x)\) (und \(\nu\)) allern abhängt. Die Gleichung (2) ist durch \textit{Bessel}sche Funktionen der Ordnung \(\pm\mu\) explicite lösbar, wobei \(\mu =\dfrac{1}{\nu +2}\) ist. Verf. zeigt dann, daß die Lösungen von (1) asymptotisch dargestellt werden durch die bekannten Lösungen von (2); der Wechsel in der asymptotischen Gestalt der Lösungen von (2), sobald \(x\) durch eine Nullstelle von \(\varPhi^2(x)\) hindurchgeht, stellt die bekannte \textit{Stokessche Erscheinung} in der Theorie der \textit{Bessel}schen Funktionen dar. Die asymptotischen Entwicklungen der \textit{Bessel}schen Funktionen, die man im zweiten Teil erhält, sind in der Hauptsache diejenigen, welche von \textit{G. N. Watson} (Treatise on the theory of Bessel functions, 1922; F. d. M. 48, 412 (JFM 48.0412.*)) angegeben worden sind. Verf. stellt jedoch eine Gruppe von Formeln auf, für die er -- und wohl mit Recht -- sowohl Neuheit wie Einfachheit in Anspruch nimmt. Als Beispiel möge angeführt werden: \[ J_\varrho (\varrho\sec\beta ) = \left(\dfrac{\text{tg}\beta - \beta}{3\text{tg}\beta}\right)^\tfrac{1}{2} \{J_\tfrac{1}{3}(\varrho\text{tg}\beta - \varrho\beta ) + J_{-\tfrac{1}{3}}(\varrho\text{tg}\beta - \varrho\beta )\} + O(\varrho^{-\tfrac{4}{3}}). \] Die entsprechende Formel von \textit{Watson} (a. a. O., p. 249) ist wesentlich komplizierter und hat als Fehlerglied ein \(O(\varrho^{-1})\). Die Einzelheiten der Arbeit sind ziemlich verwickelt, und dieses Referat gibt naturgemäß nur einen unzulänglichen Überblick. (IV 6 B, 10.)