Solution of the problem of Plateau. (Q5893456)

Gegeben sei eine geschlossene Jordankurve, die in vektorieller Schreibweise in der Form \(\mathfrak x=\mathfrak x(\theta )\) dargestellt sei, wobei \(\theta \) der Polarwinkel des Einheitskreises und die ganze Darstellung eine eineindeutige Abbildung des Einheitskreises auf die Jordankurve ist. Es wird das Funktional \[ A(g)=\frac{1}{4\pi }\int\limits_{0}^{2\pi }\int\limits_{0}^{2\pi } \frac{|\,\mathfrak x(\theta )-\mathfrak x(\varphi )\,|}{4\,\sin^2\alpha } \,d\theta \,d\varphi \quad\biggl(\alpha =\frac{\theta -\varphi }{2}\biggr) \] betrachtet, dessen Wert von der Darstellung \(g\) der gegebenen Jordankurve auf dem Einheitskreis abhängt, und es wird diejenige Darstellung \(\mathfrak x=\mathfrak x(\theta )\) gesucht, für die \(A(g)\) in der Klasse aller möglichen eigentlichen, gewissen uneigentlichen und entarteten Darstellungen (Definitionen des Verf.) zu einem Minimum wird. Die Existenz dieses Minimums im Fall, daß es mindestens eine Darstellung \(g\) gibt, für die \(A(g)\) endlich ist, wird bewiesen. \(\mathfrak x=\mathfrak r(\theta )\) sei eine solche minimisierende Darstellung. Nun konstruiert man im Einheitskreis \(u^2+v^2=1\) eine Fläche \(\mathfrak x=\mathfrak x(u,v)\), so daß die Komponenten des Vektors \(\mathfrak x(u,v)\) harmonische Funktionen von \(u\) und \(v\) sind, daß also \(\biggl(\dfrac{\partial \mathfrak x}{\partial u}\biggr)^2=\biggl(\dfrac{\partial \mathfrak x}{\partial v}\biggr)^2\) und \(\dfrac{\partial\mathfrak x}{\partial u} \dfrac{\partial\mathfrak x}{\partial v}\) (inneres Produkt) ist, und daß für den Rand des Einheitskreises die Funktion \(\mathfrak x=\mathfrak x(u,v)\) mit der minimisierenden Darstellung \(\mathfrak x=\mathfrak x(\theta )\) übereinstimmt. Eine solche Fläche gibt immer eine Lösung des Plateauschen Problems, die Fläche kleinsten Flächeninhaltes in eine gegebene Kurve einzuspannen. Da der Verf. bestrebt ist, größte Allgemeinheit in den Voraussetzungen zu haben, wandelt er viel auf mengentheoretisch-topologischen Wegen und hat auf Grenzfälle ein wachsames Auge. (V 6 B.)