Funzione caratteristica di un fenomeno aleatorio. (Q5893463)

Es sind für \(n = 1, 2, 3,\ldots\) die Wahrscheinlichkeiten \(\omega_h^{(n)}\) dafür gegeben, daß in \(n\) Versuchen gerade \(h\) günstige Fälle eintreten. Diese Wahrscheinlichkeiten werden dabei in größter Allgemeinheit aufgefaßt. Verf. bildet die Funktion \[ \psi_n\left(\frac tn\right)=\sum_{h=0}^n \omega_h^{(n)}\exp \left(i\frac hn t\right) \] und beweist mit Hilfe einer Rekursionsformel, daß gleichmäßig für alle \(|t|\leqq\tau\) die Funktion \(\psi_n\left(\dfrac tn\right)\) mit wachsendem \(n\) gegen \[ \psi(t)=\sum_{h=0}^\infty\omega_h^{(h)}\frac{i^h t^h}{h!} \] geht. Diese Funktion \(\psi(t)\) nennt er die charakteristische Funktion des durch \(\omega_h^{(n)}\) definierten Wahrscheinlichkeitsschemas. Er bildet weiter das Integral \[ \varPhi(\xi)=\frac1{2\pi}\int\limits_{-\infty}^{+\infty} \frac{e^{it}-e^{-it\xi}}{it}\psi(t)dt \] mit \(\varPhi(\xi)=0\) für \(\xi\leqq 0\) und \(\varPhi(\xi)=1\) für \(\xi\geqq 1\) und zeigt, daß die Wahrscheinlichkeit dafür, daß die relative Häufigkeit der günstigen Fälle in \(n\) Versuchen zwischen den Grenzen \(\xi_1\) und \(\xi_2\) liegt, mit wachsendem \(n\) gegen \(\varPhi(\xi_2)-\varPhi(\xi_1)\) geht. Liegt z. B. \textit{Bernoulli}-Verteilung vor, so ist \[ \omega_h^{(n)}=\dbinom nh p^h(1-p)^{n-h}, \;\psi(t)=e^{ipt} \] und \(\varPhi(\xi)=0,\frac12,1\) für \(\xi<p\) bzw. \(\xi= p\) bzw. \(\xi > p\). Ist dagegen \(\omega_h^{(n)}\) konstant, also gleich \(\dfrac1{n+1}\), so gilt: \[ \psi(t)=\frac{e^{it}-1}{it} \] und \(\varPhi(\xi)=\xi\) für \(0\leqq \xi\leqq 1\). Weiter gibt Verf. eine Reihe von Operatoren an, die er auf \(\psi(t)\) anwendet und mit deren Hilfe er unter anderm in höchst einfacher Weise zu den bekannten Sätzen über aposteriorische Wahrscheinlichkeiten kommt.