Sui getti liquidi. (Q5893543)

Vor dieser Arbeit waren die Flüssigkeitsstrahlen nur in dem idealen Falle von \textit{zwei} Dimensionen (hauptsächlich von \textit{Cisotti}) mathematisch untersucht worden. Dagegen wußte man von den reellen, \textit{dreidimensionalen} Strahlen sehr wenig: Im wesentlichen waren nur einige experimentelle Resultate vorhanden, unter andern das, daß, während ein erster Teil des Strahles (in der Nähe der Ausflußöffnung) glatt, klar und stetig ist, der übrige Teil im Gegenteil trüb und zerstreut ist, und daß sich am Ende die Flüssigkeit in einzelne Tröpfchen zerteilt. Zweck der vorliegenden Arbeit ist das mathematische Studium des ersten (glatten) Teils des Strahles, unter der Annahme, daß dieser Teil genügend lang sei (im Vergleich mit der Größe der Querschnitte), um mit einer \textit{materiellen Linie} verglichen werden zu können. Außerdem wird die andere wesentliche Hypothese des ``linearen Regimes'' gemacht, d. h., daß der mittlere Wert \(\overline{p}\) des Normaldrucks \(p\) auf irgendeinen Querschnitt des Strahles mit dem Druck \(p_G\) in seinem Schwerpunkte \(G\) übereinstimmt; eine Hypothese, welche indirekt von der Erfahrung gut bestätigt zu werden scheint. Wenn man mit \(s\) die Bogenlänge der \textit{Direktrix} des Strahles (geometrischer Ort der Schwerpunkte \(G\)), mit \(t\) die Zeit, mit \(w(s, t)\) die (Skalar-)Geschwindigkeit der Partikel der Flüssigkeit, mit \(\mu \) die Dichte dieser letzten und mit \(\boldsymbol F\) den mittleren (Vektor-) Wert der auf den allgemeinen Querschnitt (\(\tau \)) wirkenden Außenkräfte (z. B. Schwerkräfte) bezeichnet, so lauten die Hauptgleichungen des Problems: \[ \displaylines{\rlap{\qquad\!(1)} \hfill \frac{\partial \tau }{\partial t}+\frac{\partial (w\tau )}{\partial s}=0,\qquad\;\;(2)\quad \nu \ddot G=\nu \boldsymbol F-\frac{\partial }{\partial s} (\overline{p}\tau \boldsymbol t),\hfill} \] wo \(\tau \) den Inhalt von (\(\tau \)) bedeutet, \(\boldsymbol t\) den Einheitsvektor \(\dfrac{dG}{ds}\), und die mit zwei Punkten angedeutete Doppel-Derivation eine doppelte ``derivazione \textit{sostanziale}'' ist, d. h. die zweimalige Wiederholung der durch die allgemeine Formel \[ \dot f=\frac{\partial f}{\partial t}+w\frac{\partial f}{\partial s} \] ausgedrückten Derivation. Eine dritte Gleichung geht von der Hypothese des linearen Regimes aus, nämlich: \[ \displaylines{\rlap{\qquad\!(3)} \hfill \frac{\partial \tau }{\partial s}=0; \hfill} \] der Inhalt des Querschnitts des Strahles bleibt ja doch längs dem Strahl unverändert. Mit Hilfe des allgemeinen \textit{Cauchy-Kowalewsky}schen Satzes zeigt Verf., wie der Verlauf des Strahles durch die Gleichungen (1), (2), (3) zusammen mit der Gleichung \(\boldsymbol t\boldsymbol t=1\) und durch die Anfangsbedingungen bei der Öffnung eindeutig bestimmt wird. Die interessanteste Bemerkung ist aber vielleicht diese, daß die Gleichung (2) eine wichtige mechanische Analogie zwischen Flüssigkeitsstrahlen und biegsamen, unausdehnbaren Fäden hervortreten läßt. Diese Analogie ist besonders im Falle \textit{stationärer} Bewegungen vollkommen und läßt z. B. ohne jede weitere Rechnung sehen, daß unter diesen Umständen, wenn die Flüssigkeit nur unter dem Einfluß der Schwerkraft steht, die Direktrix des Strahles notwendig eine \textit{Kettenlinie} (mit Konkavität nach unten) sein muß. Es sei endlich bemerkt, daß einige Zweifel, welche die Anwendung des \textit{Cauchy-Kowalewsky}schen Satzes auf das System (1), (2), (3) hervorrufen könnte, durch eine Arbeit von \textit{G. Lampariello} (vgl. das folgende Referat) nachträglich aufgehoben worden sind.