On the regular points of a continuum. (Q5893564)

Ist \(M\) ein kompakter metrischer Raum, und ist \(\alpha\) eine Kardinalzahl, so sei \(M^\alpha\) die Menge aller Punkte der Ordnung \(\alpha\) von \(M\), so daß also \[ M =M^1 + M^2 + \dots + M^\omega + M^{\aleph_0} + M^c \] ist. \(M = M^\alpha\) ist nur möglich für \(\alpha = 2, \omega, \aleph_0, c, \) und über die Verteilung von \(M^n\) (\(n >2\), endlich) in \(M\) ist von \textit{G. T. Whyburn} (Bulletin A. M. S. 35 (1929), 218-224; F. d. M. \(55_{\text{I}}\), 320) bewiesen worden, daß \(M^n\) punkthaft ist. Verf. zeigt nun, daß \(M^n\) nulldimensional ist, und zwar gilt allgemeiner: Die Menge \[ M^n + M^{n+1} + \cdots + M^{2n-3} \] ist nulldimensional oder leer. Die Menge \(M^2\) eines beliebigen Kontinuums ist darstellbar als Summe einer nulldimensionalen oder leeren Menge \(H\) und einer Menge \(K\), die aus abzählbar vielen offenen Bögen besteht oder leer ist; dabei ist \(\dim_p M^2 = 0\) für jeden Punkt \(p\) aus \(H\), und je zwei Bögen von \(K\) sind punktfremd, oder einer enthält den andern.