Über Räume konstanter Krümmung. (Q5893658)

Die Verf. geben die direkte Konstruktion des allgemeinsten Systems ``projektiver Koordinaten'' in einem \(S_n\) (d. h. einer \(V_n\) mit konstanter Krümmung): Es seien \({}_{(\alpha)} \varphi\) \(n\) Integrale der (im \(S_n\) unbeschränkt integrierbaren) partiellen Differentialgleichung \[ \frac{\mathfrak{d} \varphi}{\mathfrak{d} x_i \, \mathfrak{d} x_k} = - K g_{i_k} \, \varphi \] \(\left( \! \right.\) in der \(\dfrac{\mathfrak{d}}{\mathfrak{d} x_i}\) die kovariante Differentiation im \(S_n\) und \(K\) die Krümmung des \(S_n\) bedeutet \(\left. \! \right)\), und diese seien so beschaffen, daß die Vektoren mit den kovarianten Komponenten \(\dfrac{\partial_{(\alpha)} \varphi}{\partial x_i}\) in einem Anfangspunkt \(P_0\) des \(S_n\) ein normiertes und orthogonales \(n\)-Bein bilden. Es sei \({}_{(\alpha)} \nu^{i}\) das adjungierte \(n\)-Bein. Diese Vektoren \({}_{(\alpha)} \nu^{i}\) sind bis auf einen skalaren Faktor \(\varrho\) die Gradienten von \(n\) Scharen von \((n - 1)\)-dimensionalen Hyperebenen, d. h. von totalgeodätischen Flächen, die ein System projektiver Koordinaten bilden. Für den metrischen Fundamentaltensor ergibt sich entsprechend die Form: \[ g_{ik} = \frac{1}{K s^2 + 1} \left( \delta_{ik} \frac{K x_i x_k}{K s^2 + 1} \right) \qquad (s^2 = x_i x_i). \]