On the representation of integers as sums of an even number of squares or of triangular numbers. (Q5893712)

Es seien \[ c_q(n)=\sum_\lambda\cos\frac{2\pi\lambda n}q,\quad s_q(n)=\sum_\lambda(-1)^{\tfrac{\lambda-1}2}\sin\frac{2\pi\lambda n}q,\qquad (q = 1, 2, 3,\dots) \] (wo \(\lambda\) ein System zu \(q\) primer Restklassen durchläuft) die \textit{Ramanujan}schen Summen und \[ \gamma_q(n)= c_q(n)\cos\tfrac12\pi s(q - 1) - s_q(n)\sin\tfrac12\pi s(q - 1) \] (\(s\) ganz). Weiter sei \(r_{2s}(n)\) die Anzahl der Darstellungen der natürlichen Zahl \(n\) als Summe von \(2s\) Quadraten. Verf. beweist für \(s > 3\): \[ \frac1m\sum\limits_{n=1}^{m}\gamma_\varrho(n)n^{1-s}r_{2s}(n)= \frac{\pi^s\varepsilon_\varrho(s)\varphi(\varrho)}{(s-1)!\varrho^s}+ O\left(\frac1m\right), \] wo \(\varrho\) eine beliebige natürliche Zahl ist und \(\varepsilon_\varrho(s)=1\), 0 oder \(2^s\), je nachdem \(\varrho\equiv 1\pod2\), \(\varrho\equiv 2\pod4\), \(\varrho\equiv 0\pod4\). Er gibt eine ähnliche Formel für die Anzahl der Darstellungen einer natürlichen Zahl \(n\) als Summe von \(2s\) Zahlen der Gestalt \(\frac12 k (k + 1)\) und für die arithmetische Funktion \(\sum_{rs}(n)\) von \textit{Ramanujan}. Die Beweise ergeben sich alle fast unmittelbar aus Formeln von \textit{Ramanujan}.