Über die reellen Nullstellen Dirichletscher \(L\)-Reihen. (Q5893735)

Besitzt eine \textit{Dirichlet}sche \(L\)-Reihe \(L(s) = \sum\frac{\chi(n)}{n^s}\) (\(\Re(s) > 0\); \(\chi\) nicht Hauptcharakter mod \(k\)) nicht-triviale Nullstellen? Da letztere symmetrisch zu \(s = \frac 12\) sind, sicher dann und nur dann, wenn \(L(s)\) positive reelle Nullstellen besitzt. \textit{Fekete} vermutete, daß für \(k =\) ungerade Primzahl und \(\chi =\) \textit{Legendre}sches Symbol das zugehörige Polynom \(F(x)= \sum\limits_1^k \chi(n) x^n\) in \(0 < x < 1\) nicht verschwindet. Nach der Integraldarstellung \[ \varGamma(s)\cdot L(s)=\int\limits_0^1\left(\log \frac 1x\right)^{s-1} \cdot \frac{F(x)}{1-x^k}\cdot \frac{dx}x \] hätte dann \(L(s)\) keine positiven Nullstellen. \textit{Pólya} (Jahresbericht D. M. V. 28 (1919), 31-40 (F. d. M. 47, 882 (JFM 47.0882.*)), insbesondere S. 37) widerlegte diese Vermutung für unendlich viele Polynome \(F(x)\). Hat \(L(s)\) vielleicht trotzdem keine Nullstellen? Dies ist die Frage des Verf. Er gibt Beispiele an, wo im Innern von \((0,1)\) verschwindende Polynome \(F(x)\) keine positiven Nullstellen für \(L(s)\) zu erzeugen vermögen. Verf. untersucht dazu für alle Primzahlen \(p\) im Zahlenraum von 1 bis 300 das Polynom \(F(x)=\sum\limits_1^{p-1}\left(\dfrac \nu p\right)x^\nu\) auf die in \((0,1)\) gelegenen Nullstellen mit Hilfe der \textit{Laguerre}schen Modifikation des \textit{Budan-Fourier}schen Satzes. Der \textit{Budan}sche Beweis für diesen Satz wird ausführlich dargestellt. In einem letzten Abschnitt gelingt es Verf., die Nichtexistenz wesentlicher reeller Nullstellen für die \textit{Dedekind}schen \(\zeta\)-Funktionen einiger weniger Kreiskörper darzutun, woraus dann dasselbe für die entsprechenden \(L\)-Reihen folgt.