Measure and probability (Q5901370)

Die meisten Lehrbücher der Wahrscheinlichkeitstheorie jüngeren Datums sind aus Vorlesungen hervorgegangen, somit adaptiert an bestimmte Studiengänge. Angesichts der Vielzahl von Diplom bzw. Bachelor/Master Studiengängen mit neuen Schwerpunkt- und Akzentsetzungen vermittelt das vorliegende Lehrbuch ein gemeinsames Fundament, auf dem andere, auch stärker anwendungsbezogene Lehrveranstaltungen aufbauen können. Der ausgewählte Inhalt deckt zu einem großen Teil den Stoff eines ``klassischen'' Stochastik I, II Zyklus für einen Diplomstudiengang Mathematik oder Wirtschaftsmathematik ab. Die erste Hälfte des Buches ist einer fundierten Einführung in die Maß- und Integrationstheorie (inklusive aller Beweise) gewidmet. Der wahrscheinlichkeitstheoretische Teil beginnt mit Kapitel IV: Wahrscheinlichkeitsräume (von endlichen Modellen bis zu projektiven Familien), Unabhängigkeit (inklusive Kolmogoroffsches 0-1-Gesetz), Verteilungen von Zufallsvariablen (univariat und multivariat), Transformationen von Zufallsvariablen und Verteilungen, Momente, Konvergenz (stochastisch, fast sicher und \(L^p\)-Konvergenz) sowie schwache und starke Gesetze der großen Zahlen und Hauptsatz der mathematischen Statistik (Satz von Glivenko-Cantelli). Es folgt ein Abschnitt über Irrfahrten inklusive 0-1-Gesetz von Hewitt-Savage und Satz von Chung-Fuchs. Kapitel V, Vertiefungen der Wahrscheinlichkeitstheorie, beginnt mit einem Abschnitt über erzeugenden Funktionen, momenterzeugenden Funktionen und Fourier Transformierten, es folgen Straffheit und schwache Konvergenz bis zum zentralen Grenzwertsatz (für identisch verteilte unabhängige \(L^2\)-Folgen). Anschließend bedingte Erwartungen, Martingale (mit diskretem Zeitparameter), bedingte Wahrscheinlichkeiten. Schließlich Regularität von Verteilungen, Konsistenzsatz von Kolmogoroff und Existenz stochastischer Prozesse auf \(\mathbb{R}^J\) mit diskretem oder stetigem Zeitparameter (\(J=\mathbb{N}\) oder \(J=\mathbb{R}\)). Natürlich konnte nur eine Auswahl getroffen werden. Man vermißt z.B. das Konvergenzverhalten von Reihen von nicht identisch verteilten unabhängigen Zufallsvariablen (Drei Reihensatz, Lèvy'scher Äquivalenzsatz) oder die Lindeberg-Feller Version des zentralen Grenzwertsatzes und den Satz von Berry-Esséen, oder z.B. in der Maßtheorie die Verwendung kompakter Klassen und kompakt approximierbarer Inhalte und Maße. Aber die Schwerpunkte der Wahrscheinlichkeitstheorie haben sich in den letzten Jahrzehnten verschoben und zugleich ist der Inhalt stark angewachsen. Dies rechtfertigt die getroffene Stoffauswahl, wenn man den Umfang des Buches beschränkt halten will. Gerade durch diese Beschränkung ist das Buch gut als Sekundärliteratur zu Vorlesungen über Wahrscheinlichkeitstheorie geeignet, oder auch als Referenztext für weiterführende oder stärker anwendungsorientierte Vorlesungen. Als Lehrbuch zum Selbststudium ist es nur mit Einschränkungen zu empfehlen, dazu scheint mir der Anteil an Beispielen und Übungsaufgaben etwas zu knapp. Allerdings gibt es natürlich genügend viele Lehrbücher mit einem großen Übungsteil, auf die verwiesen werden könnte.