On the height of 2-component links (Q5902984)

Es sei \(\hat M_ n\to_{p_ n}\hat M_{n-1}\to..\to_{p_ 1}\hat M_ 0=S^ 3\) eine Folge p-fach zyklisch verzweigter Überlagerungen für eine feste Primzahl p, wobei \(p_ 1\) an einer Komponente X einer gegebenen zweikomponentigen Verkettung \(L=X\cup Y\) verzweigt ist, und die \(p_ i\) als Verzweigungsmenge jeweils eine Komponente von \(p^{- 1}_{i-1}\cdot...\cdot p_ 1^{-1}(Y)\) besitzen, die nach gewissen Regeln ausgewählt werden kann. Die ''p-Höhe'' \(h_ p\) is dann die größte Zahl n, für die solch ein Überlagerungsturm existiert. \((h_ p\) kann \(\infty\) sein, und i.A. hängt n von der Wahl der Komponente X und der der weiteren Verzweigungsmengen ab.) Die Überlagerung \(\hat M_ n\to S^ 3\) läßt sich durch Homomorphismen \(\psi_ n: \pi_ 1(S^ 3-L)\to {\mathfrak S}_ n({\mathbb{Z}}_ p)\) charakterisieren, wo \({\mathfrak S}_ n({\mathbb{Z}}_ p)\) die Gruppe der Permutationen von n-Tupeln von Elementen aus \({\mathbb{Z}}_ p\) bedeutet. Die p-Höhe hängt eng mit der von \textit{H. B. Laufer} [Topology 10, 119-191 (1971; Zbl 0192.604)] erklärten Selbstwindungszahl zusammen und ist daher eine F-Isotopie-\(Invariante.\) Im weiteren wird vorwiegend der Fall \(p=2\) behandelt: Die 2-Höhe hängt nur von L ab. Es bestehen Zusammenhänge mit dem Alexanderpolynom \(\Delta\) (x,y) von L bzw. den Milnorschen \({\bar \mu}\)- Invarianten: Ist die Verschlingungszahl \(lk(X,Y)=0\), so gilt: \[ h_ 2(L)=2\quad \Leftrightarrow \quad [\partial^ 2\Delta (x,y)/\partial x\partial y]^ 0\equiv 1 mod 2. \] Unter der Voraussetzung lk(X,Y)\(\equiv 0 mod 2\) wird \(h_ 2(L)\) aus höheren Ableitungen von \(\Delta\) (x,y) bestimmt. Eine Charakterisierung endlicher 2-Höhen liefert Theorem 4.7: \(h_ 2(L)=\infty\) \(\Leftrightarrow\) \(\Delta (-1,- 1)=0\). Dies steht in Beziehung zu einem Resultat über \({\mathbb{Z}}_ 2\)- berandende Verkettungen [\textit{J. A. Hillman}, Q. J. Math., Oxf. II. Ser. 31, 169-179 (1980; Zbl 0408.57002)]. Es werden einige Beispiele von Höhen berechnet, z.B. \(h_ 2(L)\) für Torus-Verkettungen und Verkettungen mit zwei Brücken.