Stein morphisms and Riemann domains over Stein spaces (Q5903441)

Im Folgenden bezeichne \(S\) stets einen Steinschen Raum. Ist ein komplexer Raum \(X\) ein holomorphes Vektorraumbündel über \(S\), so ist \(X\) bekanntlich ebenfalls Steinsch. Dies trifft im allgemeinen nicht mehr zu, wenn \(X\) nur ein lokaltrivialer holomorpher Faserraum über \(S\) mit Steinscher Faser ist; dann braucht nämlich \(X\) nicht holomorph-konvex zu sein. Solche Räume haben nämlich hausdorffsche analytische Kohomologie, aber es sind Beispiele bekannt, in denen die Kohomologie von \(X\) nicht hausdorffsch ist. Der Autor zeigt nun folgenden schönen Satz: Ist \(H^ 1(X,{\mathcal O})\) hausdorffsch, so ist obiges \(X\) Steinsch. Er kommt sogar mit deutlich schwächeren Voraussetzungen an \(X\) aus: Es genügt, daß \(X\) einen Steinschen Morphismus besitzt, i.e., daß eine holomorphe Abbildung \(\phi\) : \(X\to S\) existiert sowie eine offene Steinsche Überdeckung \((U_ i)\) von \(S\), derart, daß jedes \(\phi^{-1}(U_ i)\) Steinsch ist. Damit erhält der Autor etwa auch einen folgenden Satz: Ist \(\Omega\) ein lokal Steinscher offener Unterraum von \(S\), so ist \(\Omega\) genau dann Steinsch, wenn \(H^ 1(\Omega,{\mathcal O})\) hausdorffsch ist. Ein weiteres Hauptresultat der Arbeit ist folgendes Ergebnis: Ein Riemannsches Gebiet \(X\) über einem offenen Teil von \(S\) ist genau dann Steinsch, wenn \(H^ q(X,{\mathcal O})=0\) für \(q=1,\dots, \dim X-1\). Der Beweis führt unter anderem Methoden von Fornaess und Narasimhan fort und verwendet die Theorie topologischer Tensorprodukte.