The classification of maps of surfaces (Q5903511)

Zwei Abbildungen f,g: \(M\to N\) zwischen geschlossenen orientierbaren Flächen sind äquivalent, wenn es Homöomorphismen \(h: M\to M\) und \(k: N\to N\) gibt, so daß \(kf=gh\) ist. Wenn k homotop zur Identität ist, sind f und g stark äquivalent. Eine Abbildung \(f: M\to N\) vom Grad d ist eine generische verzweigte Überlagerung, wenn sie verzweigte Überlagerung ist, und jeder Punkt von N entweder d oder d-1 Urbilder hat. Eine solche Abbildung kann als \(p\circ \tilde f\) faktorisiert werden, wobei \(\tilde f:\) \(M\to \tilde N\) eine primitive generische verzweigte Überlagerung ist (d.h. \(\tilde f_{\#})\) ist surjektiv auf \(\pi_ 1)\) und p: \(\tilde N\to N\) die Überlagerung ist, die zu \(f_{\#}\pi_ 1(M)\subset \pi_ 1(N)\) gehört. \textit{I. Berstein} und \textit{A. L. Edmonds} [Ill. J. Math. 28, 64-82 (1984; Zbl 0551.57001)] zeigten, daß primitive generische verzweigte Überlagerungen bis auf Äquivalenz durch ihren Grad d klassifiziert sind, vorausgesetzt, daß die Anzahl der Verzweigungspunkte größer als d/2 ist. In der vorliegenden Arbeit wird gezeigt, daß primitive generische verzweigte Überlagerungen in der Tat bis auf starke Äquivalenz durch ihren Grad d klassifiziert werden (ohne Einschränkungen über die Anzahl der Verzweigungspunkte). Insbesondere gilt: Zwei generische verzweigte Überlagerungen f und g sind stark äquivalent genau dann, wenn \(Grad(f)=Grad(g)\) und \(f_{\#}\pi_ 1(M)=g_{\#}\pi_ 1(M)\) ist.