Analysis I (Q5906268)

Dieses Buch ist der erste Band einer dreiteiligen Einführung in die Analysis. Im ersten Kapitel, mit ``Grundlagen'' übertitelt, wird von logischen Grundbegriffen, elementarer Mengenlehre, Abbildungen, Relationen und Verknüpfungen ausgegangen, danach werden die Peanoaxiome der natürlichen Zahlen behandelt und über einen Exkurs zur elementaren Algebra der Gruppen, Ringe und Körper sowie deren Homomorphismen die rationalen, reellen und komplexen Zahlen und abschließend Vektorräume, affine Räume und Algebren eingeführt. Im zweiten Kapitel wird die Konvergenz von Folgen und Reihen, vor allem von Potenzreihen thematisiert, wobei die Bühne dieser Abhandlung von den normierten Vektorräumen gebildet wird. Das dritte Kapitel ``Stetige Funktionen'' ist nach einer knappen Einführung in den Stetigkeitsbegriff der mengentheoretischen Topologie mit Betonung auf Kompaktheit und Zusammenhang gewidmet; erst nach dieser abstrakten Themenfolge kommen die Autoren auf die Exponentialfunktion und, von dieser abgeleitet, auf die trigonometrischen Funktionen zu sprechen. Die Diskussion der Differentialrechnung in einer Variablen, welche im vierten Kapitel erfolgt, verläuft nach dem bekannten Muster: nach der Definition der Differenzierbarkeit und der Erläuterung der Differentiationsregeln den Mittelwertsatz mit seinen Folgerungen, insbesondere der Taylorschen Formel, und das Newtonverfahren unter Hinweis auf den Banachschen Fixpunktsatz zu behandeln. Im letzten Kapitel kommen unter dem Titel ``Funktionenfolgen'' die Begriffe der gleichmäßigen Konvergenz, der Stetigkeit und Differenzierbarkeit von Funktionenfolgen, der analytischen Funktionen und der Weierstraßsche Approximationssatz zur Sprache. Die Autoren bemühen sich, die von ihnen verwendeten Begriffe sehr umfassend und exakt zu definieren, die Beweise stringent zu führen und ein hohes Abstraktionsvermögen der Leser zu fördern. Zuweilen wird das Bemühen um Akribie übertrieben und zugleich vernachlässigt -- wenn z.B. auf Seite 293 erwähnt wird, daß man statt \(\cos(z)\) und \(\sin(z)\) einfach nur \(\cos z\) und \(\sin z\) schreibt, aber auf der darauffolgenden Seite \textit{nicht} darauf hinweist, daß die Bezeichnung \(\cos^2z\) und \(\sin^2z\) eigentlich \((\cos z)^2\) und \((\sin z)^2\) abkürzt (was in einem Buch, in dem \(f^{-1}\) für die Umkehrfunktion von \(f\) steht, nicht ganz unwichtig wäre). Doch handelt es sich bei dieser Bemerkung nur um eine Marginalie, die nicht den eigentlichen Wert des Buches begrifft. Viel schwerer wiegt die Frage, ob -- im Hinblick auf die Legion von hervorragenden Einführungsbüchern in die Analysis -- die Anforderungen an Autoren, welche sich diesem Thema widmen, nicht höher gesteckt sein sollten, als eben \textit{auch} noch ein weiteres Buch über Differential- und Integralrechung zu schreiben, das sich \textit{nicht} entscheidend vom ``mainstream'' der gängigen Literatur abhebt. \textit{Originelle} Ideen, wie man eine Einführung in die Analysis vollziehen könnte, sucht man hier leider vergebens. Bezeichnenderweise nennen die Autoren in ihrem etwas eigenartig anmutenden Literaturverzeichnis bis auf das aus den 50iger Jahren stammende Buch von Ostrowski über Differential- und Integralrechnung kein einziges Konkurrenzwerk. Wenn beim vorliegenden Buch eine knappe Einordnung in die Literatur vorgenommen werden müßte, bestünde diese darin, es als ein der Tradition der möglichst generalisierenden Mathematik, dem Strukturalismus und dem Formalismus à la Bourbaki verpflichtetes Œuvre zu charakterisieren -- einer mathematischen Mode, die ihren Zenit bereits hinter sich gelassen hat.