Smooth \(p\)-groups (Q5906716)

Eine \(p\)-Gruppe heißt glatt, wenn sie eine glatte Hauptreihe besitzt, d.h. eine Hauptreihe, in der je zwei Faktorgruppen derselben Ordnung isomorph sind. Da die abelschen glatten \(p\)-Gruppen in einer Arbeit des Referenten [J. Aust. Math. Soc., Ser. A 62, No. 2, 259-278 (1997; Zbl 0895.20018)] bestimmt worden sind, versucht der Verf., nichtabelsche glatte \(p\)-Gruppen \(G\) mit Hilfe der maximalen abelschen Untergruppe \(A\) in einer glatten Hauptreihe zu beschreiben. Das gelingt ihm auch nahezu vollständig, unter leichten Zusatzvoraussetzungen: er braucht, daß \(p>2\) ist, wenn \(A\) vom Exponenten \(p^2\) und nicht homozyklisch ist; ist \(A\) elementarabelsch, so braucht er zusätzlich zu \(p>2\), daß \(A\) die maximale Untergruppe vom Exponenten \(p\) in der glatten Hauptreihe ist. Hauptergebnis des Verf. ist, daß unter diesen Voraussetzungen \(G\) höchstens die Klasse 2 hat und \(|G|<|A|\cdot|\Omega(A)|\) gilt. Beide Aussagen sind ohne die genannten Zusatzvoraussetzungen nicht richtig.