On a problem of Erdős and Graham (Q5906854)

Folgende Definitionen werden eingeführt: Zu einer Folge \(A=(a_i)_{i=1}^\infty\) natürlicher Zahlen ist die zugehörige Differenzfolge \(D(A)= (d_i)_{i=1}^\infty\) mit \(d_i= a_{i+1}-a_i\) und \({\mathcal D}_{(d,d')}\) die Menge der Folgen \(A\) natürlicher Zahlen mit \(D(A)= (d_i)_{i=1}^\infty\), wobei \(d\leq d_i\leq d'\) gilt für alle \(i\). Mit \({\mathcal L}_{(r_i,c_i)}\) wird die Menge der Folgen \(B=(b_i)_{i=1}^\infty\) mit \(b_{i+1}\geq r_ib_i-c_i\) für alle \(i\) bezeichnet; speziell wird für \({\mathcal L}_{(r_i,0)}\) geschrieben \({\mathcal L}_{(r_i)}\). Als Resultate der Arbeit seien die folgenden Sätze genannt: Theorem 1: Wenn gilt \(\sup c_i<\infty\) und \(B\in{\mathcal L}_{(2,c_i)}\), dann ist \((A+A)\cap B=\emptyset\) für \(A\in{\mathcal D}_{(2,3)}\). Theorem 3: Sei \(1\leq r_1<r_2<\dots\) eine Folge natürlicher Zahlen. Dann gibt es eine Folge \(B\in{\mathcal L}_{(r_i)}\), so daß \((A+A+A)\cap B\neq\emptyset\) gilt, falls \(A\in{\mathcal D}_{(2,3)}\).