Sur une généralisation de l'équation de Laplace. (Q5907104)

Verf. will eine der \textit{Laplace}schen Gleichung analoge Differentialgleichung und deren Lösungen untersuchen. Als Ausgangspunkt dient die Gleichung: \[ \Delta_3 U \equiv \frac{\partial^3 U}{\partial x^3} + \frac{\partial^3 U}{\partial y^3} + \frac{\partial^3 U}{\partial z^3} 3 \frac{\partial^3 U}{\partial x \partial y \partial z} = 0. \] Eine partikuläre Lösung derselben ist \(\log(x^3+y^3+z^3-3xyz)\) sowie seine Ableitungen nach \(x\); entwickelt man also \[ \log(1+3h^2x-h^3)=\sum h^n P_n(x), \] so sind die \(P_n(x)\) Polynome, die auf der Kurve \(x^3+y^3+z^3-3xyz=1\), \(x^2-yz=0\) die Rolle spielen, die die \textit{Gegenbauer}schen Polynome auf dem Kreise bei der Potentialgleichung übernehmen; sie lassen sich durch die \textit{Clausen}schen hypergeometrischen Funktionen dritter Art ausdrücken. Sodann sucht Verf. ein Analogon zur Lösung der Potentialgleichung in Polarkoordinaten. Sind \(f_1(x)\), \(f_2(x)\), \(f_3(x)\) die Sinus dritter Art, so führt eine Variablentransformation der Form \[ x=r\{f_1(r_1)f_1(r_2)+f_2(r_1)f_1(r_2)+f_3(r_1)f_1(r_2)\}, \ldots \] auf der Fläche \(x^3+y^3+z^3-3xyz=r^3\) zu drei unabhängigen Lösungen der Form \[ U = r^{m_1+m_2}\{ f_1(m_1 r_1) f_1(m_2 r_2) + f_2(m_1 r_1) f_2(m_2 r_2) + f_3(m_1 r_1) f_3(m_2 r_2)\}, \ldots . \] Dieses letztere Verfahren ergibt die Möglichkeit, drei Lösungen der verallgemeinerten Wellengleichung \[ \Delta_3 U - \frac{1}{c^3}\frac{\partial^3 U}{\partial t^3} = 0 \] auf der genannten Fläche anzugeben. (IV~6~B.)