Die Grundlagenkrisis in der griechischen Mathematik. (Q5907224)

Daß Eudoxos, der große Mathematiker der Platonischen Akademie, ein Äquivalent des Dedekindschen Schnitts besessen und als Fundament seiner mathematischen Betrachtungen benutzt hat, ist seit langem auch über den engen Kreis der Mathematikhistoriker hinaus bekannt. Schon Dedekind selbst ist im Vorwort von ``Was sind und was sollen die Zahlen'' nachträglich auf das Verhältnis seines Zahlbegriffes zu dem des Eudoxos zu sprechen gekommen. Wenn die beiden Verf. in der vorliegenden Schrift eine breitere Öffentlichkeit auf diesen Gegenstand hinweisen, und zwar in einer Formulierung, die die entscheidenden mathematischen Schritte ganz besonders plastisch und klar präzisiert, so ist dies an sich ein Verdienst, das viele ihnen danken werden. Eudoxos, oder richtiger gesagt das Buch V der Euklidischen Elemente, redet nicht von Schnitten, sondern von Verhältnissen gleichartiger Größen (es können Strecken, Flächen, Zeiten u. a. m. sein) und basiert alles auf ein System von Axiomen, deren Gültigkeit für jede einzelne Größensorte postuliert wird. Dedekind seinerseits konstruiert seine Schnitte aus den rationalen Zahlen, führt also ihre Rechtmäßigkeit auf die der rationalen Zahlen zurück. Aber dies ist auch der einzige wesentliche Unterschied der beiden Systeme, die im übrigen, wie die Verf. es ausdrücken, einander völlig ``isomorph'' sind. Der Ref. versagt es sich, hierauf an dieser Stelle näher einzugehen, da er es anderwärts eingehend getan hat und da er sich von den Verf. nicht in der Sache, sondern nur in der psychischen Wertung, einzelner Momente abhebt. Das Axiomensystem des Eudoxos hat, so wie es uns aus Euklid V erkennbar ist, eine wesentliche Lücke: die Existenz der vierten Proportionale wird nicht als Axiom formuliert, aber stillschweigend benutzt, schon an einigen Stellen von V, wo Simson es bemerkt und angedeutet hat, wie man es umgehen könne, dann ähnlich in X (das von Simson nicht kommentiert ist), in entscheidender Weise aber in XII, bei jedem einzelnen der vielen Exhaustionsbeweise, deren erster -- die Verf. halten sich an dieses Beispiel -- den Satz betrifft, daß zwei Kreise \(K_1: K_2\) sich wie die Quadrate über ihren Durchmessern \(D_1: D_2\) verhalten. Es ist das nach der mathematischen Seite überraschendste Ergebnis der Verf., daß man auch hier das Axiom von; der Existenz der vierten Proportionale umgehen kann. Euklid geht von der elementargeometrischen Tatsache aus, daß die den beiden Kreisen einbeschriebenen regulären \(n\)-Ecke sich genau wie die Quadrate über den Durchmessern verhalten, und beginnt seinen indirekten Beweis mit der Überlegung: wäre \[ K_1:K_2<D_2:D_2, \] so könnte man eine Fläche \(K_2'\) angeben, die sich der Proportion genau einfügt, für die also \[ K_1:K_2'=D_1:D_2 \] gilt, und es wäre \(K_2'< K_2\); und dann gelingt es ihm, die Eckenzahl \(n\) so groß zu machen, daß beide Aussagen zueinander in einen Widerspruch geraten. An Stelle von \(K_2'\) nun, das genau in die Proportion hineinpaßt, benutzen die Verf., gestützt auf Axiom 7, also ganz und gar im griechischen Stil, ein Flächenstück, über das sie nur Ungleichungen aussagen, das sie auf den nämlichen Widerspruch führt, dessen Existenz aber ohne besonderes Postulat durch Konstruktion klargelegt wird. Die Verf. haben sich ihr Ziel noch weiter gesteckt und in einer gedrängten Skizze die gesamte Genesis des griechischen Infinitesimaldenkens in einer neuen Beleuchtung dargelegt. Aus fünf Stufen bauen sie dieses Denken auf: 1. die Pythagoreer, die von der Musik her in allem ganze Zahlen zu gehen gelernt hatten, entdecken 2. die Existenz des Irrationalen und stehen damit vor einer ``Katastrophe'' der Mathematik. 3. Die Sophisten einschließlich Demokrit arbeiten mit dem, was eine spätere Zeit Indivisibilien nennt (hier vermißt der Ref. den Nachweis, daß diese Sophisten nicht etwa in Unkenntnis oder Unverständnis des Irrationalen noch in der Vorstellung leben, daß die Linie aus endlich vielen sehr kleinen Teilen besteht). 4. Die Kritik des Zeno, die sich gegen den Pythagoreischen Versuch der Einführung der infinitesimalen Elemente richtet und damit die ``Krisis'' akut werden läßt. 6. Die Lösung der ``Krisis'' durch die Schöpfung des Eudoxos (hier vermißt der Ref. den Nachweis, daß es wirklich Eudoxos allein war, der die Krisis löst, und das er nicht wesentliche Elemente davon aus \textit{vor}platonischer Zeit übernommen hat, wie es dem Hippokratesfragment nach zunächst scheinen möchte). Ein Nachtrag behandelt im Anschluß an eine Arbeit von T. Bonnesen (Periodico (4) 1 (1921)) den schon oft erörterten Ursprung der Irrationalitätsbeweise, von denen die bekannte Stelle in Platons Theätet und Euklid X handelt, sowie die Frage der Rechenoperationen bei Eudoxos (Addition und Multiplikation von Verhältnissen), die gewiß auch eine Differenz zwischen Eudoxos und Dedekind einschließen, aber eine von viel geringerer innerer Tragweite als die oben berührte.