Über Gruppen, deren sämtliche Teiler spezielle Gruppen sind. (Q5907328)

Unter einer speziellen Gruppe versteht man eine Gruppe von Primzahlpotenzordnung oder ein direktes Produkt von derartigen Gruppen. Der Verf. untersucht nun die Eigenschaften derjenigen nicht-speziellen Gruppen, deren Untergruppen sämtlich spezielle Gruppen sind. Einen Spezialfall solcher Gruppen haben bereits \textit{G. A. Miller} und \textit{H. C. Moreno} untersucht, die Gruppen mit nur kommutativen Untergruppen betrachteten (Transactions A. M. S. 4 (1903), 398-404; F. d. M. 34, 173-174). Sie fanden mit Hilfe der \textit{Frobenius}schen Theorie der Gruppencharaktere, daß die Ordnung solcher Gruppen durch nicht mehr als zwei verschiedene Primzahlen teilbar sein kann, also von der Form \(p^\alpha q^\beta\) ist, wo \(p\) und \(q\) Primzahlen sind. Verf. zeigt nun mit bloßer Anwendung der abstrakten Gruppentheorie, daß das gleiche Resultat für die von ihm betrachteten allgemeineren Gruppen gilt, die dann natürlich auch auflösbar sind. Es gibt dann in der Gruppe \(\mathfrak G\) nur eine Untergruppe \(\mathfrak G_1\) der Ordnung \(q^\beta\). Die \textit{Sylow}schen Untergruppen der Ordnung \(p^\alpha\) sind zyklisch. Über den Bau von \(\mathfrak G_1\) unterrichtet noch folgender Satz: \(\mathfrak G_2\) sei die größte invariante Untergruppe von \(\mathfrak G\), die in \(\mathfrak G_1\) enthalten ist. Ist dann \(\dfrac{\mathfrak G_1}{\mathfrak G_2}\) von der Ordnung \(b\), so ist \(b\) der kleinste Exponent, für den \(q^b \equiv 1\) (mod \(p\)). Zum Schluß werden noch einmal die Eigenschaften der von \textit{Miller} und \textit{Moreno} untersuchten Gruppen mit nur kommutativen Untergruppen abgeleitet. Dazu muß zunächst die Gruppe \(\mathfrak G_1\) selbst kommutativ sein. Außerdem ergibt sich aber, daß \(\mathfrak G_2\) sich auf die Einheit reduziert, so daß \(\beta = b\) wird und \(\beta\) sich als der kleinste Exponent erweist, für den \(q^\beta \equiv 1\) (mod \(p\)).