On the Stieltjes integral. (Q5907349)

Das Integral einer Funktion in bezug auf eine andere Funktion ist von \textit{Stieltjes } (Annales Toulouse 8 (1894), 1-122; F. d. M. 25, 326 (JFM 25.0326.*)-329) eingeführt und folgendermaßen definiert worden: \[ \int_a^b f(x)dg(x) = \lim_{\lambda \to 0} \sum_{r=1}^n f(\xi_ r) \{g(x_r) - g(x_{r-1})\}. \] Dabei ist \(a < b\), ferner \(a = x_0 \leqq \xi_1 \leqq x_1 \leqq \xi_2 \leqq \cdots \leqq \xi_n \leqq x_n = b\); \(\lambda\) ist das Maximum der Werte \(x_r - x_{r-1}\). Für die Integration gilt \[ \int_a^b f (x)\, dg(x) = f (b)g(b) - f (a) g(a) - \int_a^b g (x)\, df(x). \] Das Integral von \textit{Stieltjes} ist eine Erweiterung des \textit{Riemann}schen Integrals, und ohne Schwierigkeit kann das \textit{Lebesgue}sche Integral in derselben Weise erweitert werden. Die Eigenschaften des letzten gelten dann für das ``\textit{Lebesgue-Stieltjes}sche Integral'' \[ \int_a^b f(x) \,dg (x), \] vorausgesetzt, daß \(g (x)\) eine Funktion von beschränkter Variation ist. Das so definierte Integral ist nicht so weitreichend wie das \textit{Stieltjes}sche. Verf. definiert ein variiertes \textit{Stieltjes}sches Integral, das er als ``\textit{mean-Stieltjes}-Integral'' bezeichnet, und beweist einige Sätze. Als wichtigstes Ergebnis sei hervorgehoben: Das Integral \(\int\limits_a^b f (x)\, dx\), aufgefaßt als variiertes \textit{Stieltjes}schen Integral, ist gleich demselben Ausdruck, aufgefaßt als \textit{Lebesgue}sches Integral, vorausgesetzt, daß die Integrale existieren. Schließlich werden noch ein paar Beziehungen zwischen dem variierten \textit{Stieltjes}schen Integral und den \textit{Fourier}schen Reihen aufgestellt.