Hermitian polynomials and Fourier analysis. (Q5907366)

Verf. zeigt, daß die durch die Gleichung \[ e^{-t^2+2tx} = \sum_0^\infty \frac{H_n(x)}{n!} t^n \] definierten \textit{Hermite}schen Polynome \(H_n(x)\) unter der Voraussetzung \(\mathfrak R(\omega^2 + 1)>1\) der Gleichung \[ \omega^n H_n(x) e^{-\tfrac 12 x^2} = i^n \int_{-\infty}^{+\infty} H_n(y) e^{-\tfrac 12 y^2} K(x, y)\, dy \] genügen, wobei \[ K(x, y) = \exp\left\{\frac{(x^2 + y^2)(\omega^2-1)}{2(\omega^2+1)} - \frac{2i \omega x y}{\omega^2 + 1}\right\} \pi^{-\tfrac 12} (\omega^2 + 1)^{-\tfrac 12} \] ist. Für den Fall \(\omega = 1\) ist diese Gleichung schon von \textit{A. Milne} (Proceedings Edinburgh Math. Soc. 32 (1914), 2-14; F. d. M. 45, 501 (JFM 45.0501.*)) aufgestellt worden, und für \(\omega = 0\) besagt sie, daß die Funktionen \(e^{-\tfrac 12 x^2}H_n(x)\), \(n \geqq 1\), zu \(e^{-\tfrac 12 x^2}\) orthogonal sind. Verf. definiert, indem er \(\omega = e^{i\vartheta}\) setzt, die Transformierte \(\varphi(x)\) einer Funktion \(f(x)\), deren Quadrat in \((-\infty, +\infty)\) integrierbar ist, als Grenzwert im Mittel von \(\int\limits_{-A}^A K(x, y) f(y)\, dy\) für \(A \to \infty\). Er erhält dadurch, daß er den Ausdruck für die Transformierte von \(e^{i x \mu} f(x)\) formal bildet, eine Interpretation des Operators \(e^{[i x \sin\,\vartheta - \cos\, \vartheta(d/dx)]\mu}\), die mit einer von \textit{H. Weyl} (Z. f. Physik 46 (1927), 1-47, besonders S. 22 u. 33; vgl. F. d. M. 53, 848 (JFM 53.0848.*)) gegebenen Definition übereinstimmt. (IV 3D, 6A.)