A solution of the matric equation \(P(X)=A\). (Q5907406)

\(P(x)\) sei ein Polynom \(n\)-ten Grades mit komplexen Koeffizienten und \(A\) eine quadratische Matrix mit \(m\) Zeilen, deren Determinante auch gleich Null sein kann. Verf. fragt nach allen Lösungen in Matrizen \(X\), die der Gleichung \[ (1)\quad P(X)=A \] genügen und sich als Polynome in \(A\) ausdrücken lassen. Verf. beweist, daß\ (1) stets mindestens eine derartige Lösung besitzt, und daß\ die genaue Anzahl der verschiedenen Lösungen \[ (2)\quad \prod_{i=1}^s \mu_i \] ist. Dabei bedeutet \(s\) die Anzahl der verschiedenen Wurzeln desjenigen Polynoms \(\psi(x)\) kleinsten Grades, dem \(A\) genügt, und \(\mu_i\) die Anzahl der verschiedenen Wurzeln der Gleichung \[ (3)\quad P(t)-\alpha_i=0, \] wenn \(\alpha_i\) eine einfache Nullstelle von \(\psi(x)\) ist, oder die Anzahl der einfachen Wurzeln (3), wenn \(\alpha_i\) eine mehrfache Nullstelle von \(\psi(x)\) ist. Es folgen numerische Beispiele.